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ausklammern: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:16 Mo 21.05.2007
Autor: engel

hallO!

was ist hieran falsch?

[mm] x^4 [/mm] - [mm] x0^4 [/mm] / x - x0

= (x³ - x0)

        
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ausklammern: Probe
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:23 Mo 21.05.2007
Autor: Roadrunner

Hallo engel!


Mach doch mal die Probe und multipliziere aus:   [mm] $\left(x^3-x_0^3\right)*(x-x_0) [/mm] \ = \ ...$


Das richtige Ergebnis erhältst Du durch MBPolynomdivision oder hier auch durch 2-malige Anwendung der 3. binomischen Formel:

[mm] $\bruch{x^4-x_0^4}{x - x_0} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\left(x^2-x_0^2\right)*\left(x^2+x_0^2\right)}{x - x_0} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(x-x_0)*(x+x_0)*\left(x^2+x_0^2\right)}{x - x_0} [/mm] \ = \ [mm] (x+x_0)*\left(x^2+x_0^2\right) [/mm] \ = \ ...$


Gruß vom
Roadrunner


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ausklammern: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:28 Mo 21.05.2007
Autor: engel

okay.

dann habe ich also:

(x-x0) * (x+x0) * (x² + x0²)

Jetzt kürze ich durch (x-x0)

dann habe ich (x+x0) * (x² + x0²)

Aber nun solle ich den grenzwert betrachten fürr x -> x0

Dann hätte ich:

(x0 + x0) * (x0² + x0²)

Dann hätte ich 2x0 * 2x0²

Aber meine lehrerin kommt auf das ergebnis 3x0³

Was mache ich hier falsch?

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ausklammern: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:36 Mo 21.05.2007
Autor: schachuzipus

Hallo Engel,

> okay.
>  
> dann habe ich also:
>  
> (x-x0) * (x+x0) * (x² + x0²)
>  
> Jetzt kürze ich durch (x-x0)
>  
> dann habe ich (x+x0) * (x² + x0²)
>  
> Aber nun solle ich den grenzwert betrachten fürr x -> x0
>  
> Dann hätte ich:
>  
> (x0 + x0) * (x0² + x0²)
>  
> Dann hätte ich 2x0 * 2x0² = [mm] 4x_0^3 [/mm] [ok]
>  
> Aber meine lehrerin kommt auf das ergebnis 3x0³ [notok]
>  
> Was mache ich hier falsch?

gar nichts - alles richtig, deine Lehrerin hat sich wohl verschrieben.

Ich nehme an, es geht darum, die Ableitung an der Stelle [mm] x_0 [/mm] der Funktion [mm] $f(x)=x^4$ [/mm] mithilfe des Differenzenquotienten zu bestimmen.

Und die Ableitung von [mm] $f(x)=x^4$ [/mm] ist [mm] $f'(x)=4x^3$, [/mm] also [mm] $f'(x_0)=4x_0^3$ [/mm]

Also alles richtig ;-)


LG

schachuzipus


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ausklammern: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:44 Mo 21.05.2007
Autor: engel

Woher weißt du auswendig, ohne zu rechnen, was die ableitung ist? gibts da irgendeine denkweise sod ass man das sofort weiß?

weil hier suche ich jetzt schon wieder eine aufspaltung und finde einfach keine

1/x² - 1/x0² / x² - xo²

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ausklammern: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:50 Mo 21.05.2007
Autor: Kroni

Hi,

ja, es gibt auch "Ableitungsregeln":

MBAbleitung und MBAbleitungsregel

Meinst du bei deiner Aufgabe folgenden Term:

[mm] \bruch{\bruch{1}{x^2}-\bruch{1}{x_0^2}}{x^2-x_0^2} [/mm] ?

Wenn ja, kannst du den Zähler mal als einen Bruch schreiben, sprich die beiden Brüche Nennergleich machen, und dann mal zusammenfassen, da fällt dann schon einiges raus!

LG

Kroni





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ausklammern: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:53 Mo 21.05.2007
Autor: engel

bin soweit...

(1/x - 1/x0 ) * (1/x + 1/x0)

das bringt noch nix?


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ausklammern: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:00 Mo 21.05.2007
Autor: Kroni

Hi,

ich nehme an, du willst den Grenzwert von [mm] f(x)=\bruch{1}{x^2} [/mm] an der Stelle [mm] x_0 [/mm] berechnen?

Dann hast du aber zunächst diese Form dort stehen:

[mm] m=\bruch{\bruch{1}{x^2}-\bruch{1}{x_0^2}}{x-x_0} [/mm]

Nun stört dich der Bruch im Zähler: Den zusammenfassen, indem du den ersten Bruch mit [mm] x_0 [/mm] erweiterst, und den zweiten mit x.
Dann kannst du die Differenz nämlich als einen Bruch schreiben:

[mm] \bruch{x_0^2-x^2}{x^2*x_0^2} [/mm] und ab hier kannst du wieder gut weiter rechnen.

LG

Kroni

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ausklammern: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:08 Mo 21.05.2007
Autor: engel

hallo!

danke dir.

bin jetzt soweit:

x0 - x / x - x0

Wei gehts jetzt weiter?


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Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:15 Mo 21.05.2007
Autor: Kroni

Hi,

also stimmte die Funktion [mm] f(x)=\bruch{1}{x^2}? [/mm]

Also ich bin zwischenzeitlich bei

[mm] \bruch{x_0^2-x^2}{(x-x_0}{x^2*x_0^2} [/mm] wenn ich den Zähler als einen Bruch schreibe, und dann den Bruch auf einen Bruchstrich verteile.

Dann im Zähler die 3. Binomische Formel anwenden, und bei [mm] (x_0-x), [/mm] welches dabei unter anderem entsteht, ne -1 ausklammern, denn dann kannst du mit [mm] (x-x_0) [/mm] im Nenner kürzen.

Dann guck mal weiter=)

LG

Kroni

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ausklammern: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:27 Mo 21.05.2007
Autor: engel

was wäre denn dein ergebnis?

-2/x0³

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ausklammern: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:30 Mo 21.05.2007
Autor: Steffi21

perfekt
Steffi

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ausklammern: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:38 Mo 21.05.2007
Autor: engel

das ist ja leider das ergenis meiner lehrerin und nicht meines.

hier meine rechnung. was mache ich denn falsch?

[Dateianhang nicht öffentlich]


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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ausklammern: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:57 Mo 21.05.2007
Autor: Steffi21

Hallo,

ich dachte, dein Ergebnis:

[mm] \bruch{\bruch{1}{x^{2}}-\bruch{1}{x_0^{2}}}{x-x_0} [/mm] imZäler 1. Bruch mit [mm] x_0^{2} [/mm] erweitern, 2. Bruch mit [mm] x^{2} [/mm]

[mm] \bruch{\bruch{x_0^{2}}{x^{2}x_0^{2}}-\bruch{x^{2}}{x^{2}x_0^{2}}}{x-x_0} [/mm]

[mm] \bruch{\bruch{x_0^{2}-x^{2}}{x^{2}x_0^{2}}}{x-x_0} [/mm] beachte den Hauptbruchstrich

[mm] \bruch{x_0^{2}-x^{2}}{x^{2}x_0^{2}} [/mm] : [mm] (x-x_0) [/mm]

[mm] \bruch{x_0^{2}-x^{2}}{x^{2}x_0^{2}} [/mm] * [mm] \bruch{1}{(x-x_0)} [/mm]

[mm] \bruch{(x_0-x)*(x_0+x)}{x^{2}x_0^{2}} [/mm] * [mm] \bruch{1}{(-1)*(x_0-x)} [/mm] im 1. Bruch- 3. Binomische Formel, im 2. Bruch -1 ausklammern

[mm] -\bruch{(x_0+x)}{x^{2}x_0^{2}} [/mm] kürzen mit [mm] (x_0-x) [/mm]

jetzt mache x gegen [mm] x_0 [/mm]

[mm] -\bruch{(x_0+x_0)}{x_0^{2}x_0^{2}} [/mm]

[mm] \bruch{-2x_0}{x_0^{4}} [/mm]

[mm] \bruch{-2}{x_0^{3}} [/mm]

ich hoffe, jetzt wird es auch dein Ergebnis

Steffi












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ausklammern: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:05 Mo 21.05.2007
Autor: engel

vielen dank!

ich hänge an dieser stelle:

x0 + x / -x² * x0²

Wie kann ich da den nenner aufspalten?

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
ausklammern: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:13 Mo 21.05.2007
Autor: Steffi21

Hallo,

du brauchst den Nenner nicht weiter aufspalten, du untersuchst doch x gegen [mm] x_0, [/mm] also für x setzt du [mm] x_0 [/mm] ein

[mm] \bruch{x_0+x}{-x^{2}x_0^{2}} [/mm]

[mm] \bruch{x_0+x_0}{-x_0^{2}x_0^{2}} [/mm]

[mm] \bruch{2x_0}{-x_0^{4}} [/mm]

jetzt [mm] x_0 [/mm] kürzen

Steffi



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ausklammern: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:15 Mo 21.05.2007
Autor: engel

okax, danke ;-)

ähm..

bei der aufgabe

f(x) = 1/Wurzelx

soll -1/2xo^(3/2)

rauskommen.

ich bin soweit.

(-1) ( Wurzelx * Wurzelx0 (Wurzelx + Wurzelx0)

Bin ich hier dann schon falsch`?

Bezug
                                                                                                                                        
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ausklammern: Rechenweg?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:18 Mo 21.05.2007
Autor: Kroni

Hi,

sei doch mal so lieb, und poste den Rechenweg=)

Dann kann man schneller eventuelle Fehler sehen, und man weiß schon, was du alles gerechnet hast.

LG

KRoni

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ausklammern: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:20 Mo 21.05.2007
Autor: engel

okay:


[mm] \bruch{1}{\wurzel{x}} [/mm] =>

[mm] \bruch{\bruch{1}{\wurzel{x}}-\bruch{1}{\wurzel{x_0}}}{x-x_0}=\bruch{\bruch{\wurzel{x_0}-\wurzel{x}}{\wurzel{x}*\wurzel{x_0}}} {x-x_0}=\bruch{-(\wurzel{x}-\wurzel{x_0})}{\wurzel{x}*\wurzel{x_0}* ( \wurzel{x}-\wurzel{x_0})(\wurzel{x}+\wurzel{x_0})}=-\bruch{1}{\wurzel{x}*\wurzel{x_0}*(\wurzel{x}+\wurzel{x_0})} [/mm]

1/Wurzelx = 1/Wurzelx - 1/Wurzelx0 / x - x0 = Wurzelxo - Wurzelx / Wurzeöx*Wurzelx0 / x - x0

(-1) (-Wurzelxo + Wurzelx) / Wurzelx * Wurzelx0 (Wurzelx - Wurzelx0) (Wurzelx + Wurzelx0)

= -1/ Wurzelx * Wurzelx0 (Wurzelx + Wurzelx0)

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ausklammern: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:30 Mo 21.05.2007
Autor: Steffi21

Hallo,

sieht doch gut aus:

[mm] \bruch{-1}{\wurzel{x}*\wurzel{x_0}(\wurzel{x}+\wurzel{x_0})} [/mm]

jetzt mache x gegen [mm] x_0, [/mm]
dann kennst du [mm] \wurzel{x_0}*\wurzel{x_0}=x_0, [/mm]
dann brauchst du noch ein Potenzgesetz: zwei Potenzen werden multipliziert, indem man .....

Steffi




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ausklammern: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:34 Mo 21.05.2007
Autor: engel

Betrachten wir mal nur den nenner. Wurzelx0 * Wurzelx0 (Wurzelx0 + Wurzelx0)

Das ist dann x0 * 2*Wurzelx0

wie gehts dann weiter=?

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ausklammern: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:40 Mo 21.05.2007
Autor: schachuzipus

Hi,

[mm] $x_0\cdot{}2\sqrt{x_0}=2\cdot{}x_0^1\cdot{}x_0^{\frac{1}{2}}=2\cdot{}x_0^{1+\frac{1}{2}}=2x_0^{\frac{3}{2}}=2\sqrt{x_0^3}$ [/mm]


Potenzgesetze anschauen !! ;-)


Gruß

schachuzipus

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ausklammern: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:36 Mo 21.05.2007
Autor: schachuzipus

Hallo engel,

> okax, danke ;-)
>  
> ähm..
>  
> bei der aufgabe
>  
> f(x) = 1/Wurzelx
>  
> soll -1/2xo^(3/2)
>  
> rauskommen.
>  
> ich bin soweit.
>  
> (-1) ( Wurzelx * Wurzelx0 (Wurzelx + Wurzelx0) [daumenhoch]
>  
> Bin ich hier dann schon falsch'?

Nein, das ist goldrichtig, aber sehr schwer zu lesen. Versuche doch bitte, den Formeleditor zu benutzen - ist nicht allzu schwer ;-)

Wenn du nun hier [mm] $\frac{-1}{\sqrt{x}\cdot{}\sqrt{x_0}\cdot{}(\sqrt{x}+\sqrt{x_0})}$ [/mm] mal $x$ gegen [mm] $x_0$ [/mm] laufen lässt, ergibt das doch:


[mm] $\frac{-1}{\sqrt{x_0}\cdot{}\sqrt{x_0}\cdot{}(\sqrt{x_0}+\sqrt{x_0})}=\frac{-1}{x_0(2\sqrt{x_0})}=\frac{-1}{2\sqrt{x_0^3}}=-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$ [/mm]


Gruß

schachuzipus


Bezug
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