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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:42 Mi 18.11.2009 | | Autor: | nueppi |
| Aufgabe | | zeigen sie, dass die Gruppe der oberen Dreiecksmatrizen [mm] GL(n,\IR [/mm] ) auflösbar ist. |
hallooo
also ich hätte die idee, dass ich einen normalteiler finde und dann zeige dass dieser auflösbar ist und dass die faktorgruppe auch auflösbar ist, weil das impliziert ja dass die gruppe dann auflösbar ist.
jetzt hab ich nur keine ahnung wie ich aus oberen dreiecksmatrizen einen normalteiler finde und wie ich dann weiter mache.
ist mein ansatz richtig oder gibt es eine einfachere methode dass zu beweisen und wenn ja wie finde ich dann den normalteiler?
liebe grüße und danke für die hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:37 Mi 18.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> zeigen sie, dass die Gruppe der oberen Dreiecksmatrizen
hier fehlt ein "in", oder?
> [mm]GL(n,\IR[/mm] ) auflösbar ist.
Nennen wir die Gruppe [mm] $G_0$.
[/mm]
> also ich hätte die idee, dass ich einen normalteiler finde
> und dann zeige dass dieser auflösbar ist und dass die
> faktorgruppe auch auflösbar ist, weil das impliziert ja
> dass die gruppe dann auflösbar ist.
Genau.
> jetzt hab ich nur keine ahnung wie ich aus oberen
> dreiecksmatrizen einen normalteiler finde und wie ich dann
> weiter mache.
Schau dir mal die Untergruppe der Matrizen an, die auf der Diagonale nur 1en hat. Dies ist ein Normalteiler in [mm] $G_0$. [/mm] Bezeichne diese als [mm] $G_1$. [/mm] Wie sieht [mm] $G_0 [/mm] / [mm] G_1$ [/mm] aus?
Nun zu [mm] $G_1$. [/mm] Schau dir doch dort mal die Matrizen an, die auf der Hauptdiagonalen nur 1en und auf der 1. Nebendiagonalen nur 0en hat, und ansonsten frei waehlbar ist. Also so in etwa: [mm] $\pmat{ 1 & 0 & \ast & \cdots & \ast \\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \dots & \ddots & \ddots & \ast \\ \vdots & & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & 1 }$. [/mm] Wenn diese UG [mm] $G_2$ [/mm] ist, wie sieht [mm] $G_1 [/mm] / [mm] G_2$ [/mm] aus?
Jetzt kannst du ja Schritt fuer Schritt immer eine weitere Nebendiagonale auf 0 setzen.
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:35 Do 19.11.2009 | | Autor: | nueppi |
vielen dank für deine antwort,
also ich hab dann eine kette von untergruppen und am ende steht dann die einheitsmatrix (= neutrales element). jetzt muss ich ja nur noch zeigen dass die faktorgruppe die durch das neutrale element und die obere dreiecksmatrix mit nur noch einem eintrag ganz oben rechts (und den einsen auf der diagonalen) auflösbar ist, weil dann kann ich ja schlussfolgern dass der rest auch auflösbar ist.
ist das denn immer gegeben dass die faktorgruppe mit dem neutralen element auflösbar ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Do 19.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:13 Fr 20.11.2009 | | Autor: | Hans7er |
Hallo zusammen!
Die Erläuterung ist wirklich sehr einsichtig und hilft mir sehr weiter, allerdings habe ich Problem mir die Faktorgruppe [mm] G_1 [/mm] / [mm] G_0 [/mm] vorzustellen oder auch die weiteren... Eigentlich müssten das ja die Nebenklassen z.B. zu den Matrizen mit der Eins auf der Diagonalen sein, also man multipliziert von links obere Dreiecksmatrizen an die o.g. Matrizen und schaut welche Nebenklassen entstehen... mein Problem ist, ich sehe nicht wie ich die klassifizieren kann, geschweige denn wie so eine Nebenklasse aussehen könnte...
würde mich über einen kurzen Hinweis freuen.
Beste Grüße
Hans7er
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:31 Sa 21.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Die Erläuterung ist wirklich sehr einsichtig und hilft mir
> sehr weiter, allerdings habe ich Problem mir die
> Faktorgruppe [mm]G_1[/mm] / [mm]G_0[/mm] vorzustellen oder auch die
Du meinst [mm] $G_0 [/mm] / [mm] G_1$.
[/mm]
> weiteren... Eigentlich müssten das ja die Nebenklassen
> z.B. zu den Matrizen mit der Eins auf der Diagonalen sein,
> also man multipliziert von links obere Dreiecksmatrizen an
> die o.g. Matrizen und schaut welche Nebenklassen
> entstehen... mein Problem ist, ich sehe nicht wie ich die
> klassifizieren kann, geschweige denn wie so eine
> Nebenklasse aussehen könnte...
Ich wuerde mal vermuten, dass [mm] $G_0 [/mm] / [mm] G_1$ [/mm] isomorph zu [mm] $((\IR^\ast)^n, \cdot)$ [/mm] ist: zeige dazu, dass [mm] $\varphi_0 [/mm] : [mm] G_0 \to (\IR^\ast)^n$, $(a_{ij})_{ij} \mapsto (a_{ii})_i [/mm] = [mm] (a_{11}, a_{22}, \dots, a_{nn})$ [/mm] ein Gruppenhomomorphismus ist. Der Kern ist offenbar [mm] $G_1$, [/mm] und somit gilt nach dem Homomorphiesatz [mm] $G_0 [/mm] / [mm] G_1 \cong (\IR^\ast)^n$.
[/mm]
Ob das jetzt wirklich ein Gruppenhomomorphismus ist musst du selber nachpruefen.
Der Gruppenhomomorphismus von [mm] $G_i$, [/mm] $1 [mm] \le [/mm] i < n$ (mit Kern [mm] $G_{i+1}$) [/mm] geht dann nach [mm] $(\IR^{n-i}, [/mm] +)$, und genauso geht's dann weiter, bis schliesslich [mm] $G_n [/mm] = [mm] \{ E_n \}$.
[/mm]
LG Felix
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