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Forum "Zahlentheorie" - arithmetische Funktionen

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arithmetische Funktionen: Primzahlzwillinge

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	11:57 Di 09.11.2010
Autor:	Knuddelbunti

Aufgabe

 Vor: Sei n [mm] \in \IN [/mm] und p eine Primzahl. Es gelte [mm] n+1=(p+1)^2, [/mm] 

[mm] \sigma(n) [/mm] = (p+1)(p+3) und [mm] \phi(n) [/mm] = (p-1)(p+1)

Beh: [mm] \sigma(n)\phi(n) [/mm] = (n+1)(n-3)

Meine Frage

Wie komme ich auf das Endergebnis?

Ich habe den Rechenweg von vorne nach hinten und von hinten nach vorne durchgerechnet und bin bislang so weit:

[mm] \sigma(n)\phi(n) [/mm] = (p+1)(p+3)(p-1)(p+1)
= (p+1)(p+1)(p+3)(p-1) , geht da die Multiplikation kommutativ ist
= [mm] (p+1)^2 [/mm] [(p+3)(p-1)] , erstetze nach Vor. [mm] (n+1=(p+1)^2) [/mm]
= (n+1) [mm] [(p^2 [/mm] - p + 3p - 3)]
= (n+1) [...???...]
= (n+1)(n-3)
Ist das bis hierhin richtig?

Die 1. Klammer der Behauptung habe ich damit, aber wie komme ich auf die 2. Klammer?

Meine Idee zur Lösung:
= (n+1) [mm] [(p^2 [/mm] +2p - 3)] nutze quadratische Ergänzung
= (n+1) [mm] [(p^2 [/mm] + 2p -3 +4 -4)]
= ... [mm] [((p+1)^2 [/mm] -4)] erstetze nach Vor. [mm] (n+1=(p+1)^2) [/mm]
= (n+1) ((n+1)-4)
= (n+1) (n-3).

Ist das korrekt?

Bezug

arithmetische Funktionen: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	12:11 Di 09.11.2010
Autor:	MathePower

Hallo Knuddelbunti,

> Vor: Sei n [mm]\in \IN[/mm] und p eine Primzahl. Es gelte
> [mm]n+1=(p+1)^2,[/mm]
> [mm]\sigma(n)[/mm] = (p+1)(p+3) und [mm]\phi(n)[/mm] = (p-1)(p+1)
>
> Beh: [mm]\sigma(n)\phi(n)[/mm] = (n+1)(n-3)
>  Meine Frage
>
> Wie komme ich auf das Endergebnis?
>
> Ich habe den Rechenweg von vorne nach hinten und von hinten
> nach vorne durchgerechnet und bin bislang so weit:
>
>
> [mm]\sigma(n)\phi(n)[/mm] = (p+1)(p+3)(p-1)(p+1)
>  = (p+1)(p+1)(p+3)(p-1) , geht da die Multiplikation
> kommutativ ist
>  = [mm](p+1)^2[/mm] [(p+3)(p-1)] , erstetze nach Vor. [mm](n+1=(p+1)^2)[/mm]
>  = (n+1) [mm][(p^2[/mm] - p + 3p - 3)]
>  = (n+1) [...???...]
>  = (n+1)(n-3)
>  Ist das bis hierhin richtig?
>
> Die 1. Klammer der Behauptung habe ich damit, aber wie
> komme ich auf die 2. Klammer?
>
> Meine Idee zur Lösung:
>  = (n+1) [mm][(p^2[/mm] +2p - 3)] nutze quadratische Ergänzung
>  = (n+1) [mm][(p^2[/mm] + 2p -3 +4 -4)]
>  = ...       [mm][((p+1)^2[/mm] -4)] erstetze nach Vor.
> [mm](n+1=(p+1)^2)[/mm]
>  = (n+1) ((n+1)-4)
> = (n+1) (n-3).
>
> Ist das korrekt?

Ja, das ist korrekt.

Gruss
MathePower