archimedische eigenschaft < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich soll die archimedische Eigenschaft beweisen, weiß jedoch gar nicht wie und wo ich anfangen soll. das erste problem ist, dass ich nicht wirlich weiß, was die archimedische eigenschaft überhaupt bedeutet, da ich keine seite gefunden habe, die mir das gut erklären kann :(
Des weiteren ist das Problem mal wieder der Beweis. Da hapert es bei mir immer :(
Vielleicht könnt ihr mir weiterhelfen?
zu jedem a > 0 und jedem t [mm] \in [/mm] R gibt es ein n [mm] \in [/mm] N mit na > t!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 So 26.06.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo rotespinne!
Ich habe ![[]](/images/popup.gif) diesen Link jetzt nicht genauer durchforstet.
Aber vielleicht hilft er Dir etwas weiter ...
Gruß
Loddar
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Hallo!
Dieser Link bringt mir leider überhauopt nichts, da war ich heute auch schon :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:50 So 26.06.2005 | | Autor: | Astrid |
Hallo,
> Dieser Link bringt mir leider überhauopt nichts, da war ich
> heute auch schon :(
Warum denn nicht? Dann mußt du uns bitte genauer erklären, wo dein Problem liegt! Der Link gibt dir doch eine Definition (darum hattest du gebeten) und gleich einen Beweis (auch darum hattest du gebeten).
Erwarte jetzt bitte nicht, dass wir dir den Link in jedem Detail erklären. Versuche doch vielleicht ihn selbst du verstehen, bei Fragen zu fragen und dann gegebenenfalls das Problem auf deines zu übertragen!
Viele Grüße
Astrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:58 So 26.06.2005 | | Autor: | rotespinne |
Das verlange ich nicht. Die Definition ist gut, aber ich verstehe bei dem Beweis nichts. Ich weiß bspw. nicht was [mm] C_{o} [/mm] heißen soll.
Und auf meinen Beweis kann ich leider auch nichts übertragen.
Ich soll zeigen dass es zu jedem a > o und jedem t [mm] \varepsilon [/mm] R ein n [mm] \varepsilon [/mm] N gibt, mit na > t.
Mein Problm ist es, dass ich nie weiß wie ich solche Beweise aufziehen soll. Ich habe es hier schon mit vollständiger Induktion versucht, aber da komme ich auch nicht weiter :(
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Hallo rotespinne,
also ich finde den Beweis im Link recht einfach und nicht komliziert. Man kann es aber anders machen (allerdings etwas komplizierter).
Der Satz von Archemides : [mm] \IN [/mm] ist in [mm] \IR [/mm] nicht nach oben beschränkt, d.h. zu jedem x [mm] \in \IR [/mm] gibt es ein n [mm] \in \IN [/mm] mit n > x.
Beweis: Es sei x [mm] \in \IN. [/mm] Für x < 0 ist die Aussage richtig. Es gelte also x [mm] \ge [/mm] 0. Dann ist die Menge A := {n [mm] \in \IN [/mm] : n [mm] \le [/mm] x} nicht leer und durch x nach oben beschränkt. Somit existiert s:= sup(A) in [mm] \IR. [/mm] Dann gilt für alle a [mm] \in [/mm] A: a [mm] \le [/mm] s. Dann existiert auch ein a [mm] \in [/mm] A mit s - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] < a. Setzen wir nun n := a+1, so gilt n > s. Also gehört n nicht zu A und wir stellen fest: zu jedem x [mm] \in \IR [/mm] gibt es ein n [mm] \in \IN [/mm] mit n > x, was gerade die Aussage des Satzes ist. [mm] \Box
[/mm]
gruss,
logarithmus
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das finde ich nun wieder leichter als den beweis im link.....
Danke :)
Aber nun mal eine frage zu meiner aufgabe :
zu jedem a >o und jedem t [mm] \varepsilon [/mm] R gibt es ein n [mm] \varepsilon [/mm] N mit na > 0.
Dass die Aussage richtig ist ist ja wohl klar. Aber wie soll ich den Beweis aufschreiben?
Da weiß ich nie wo ich wie anfangen soll, was ich wirklich hinschreiben muss oder was ich weglassen könnte....
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Hallo rotespinne,
Ich habe das Archimedische Axiom etwas anderes gelernt, nämlich:
Zu je zwei reelle Zahlen x, y > 0 existiert eine natürliche Zahl n mit nx > y.
Geometrisch: Hat man zwei Strecken auf einer Geraden, so kann man, wenn man die kleinere von beiden (hier: x) oft genug abträgt (also n mal), die grössere (hier: y) übertreffen.
zu deiner Aufgabe: Zu Zeigen:
Zu jedem a >o und jedem t [mm] \in \IR [/mm] gibt es ein n [mm] \in \IN [/mm] mit na > t.
1. Scritt:
Wir schreiben die Aussage um, und zwar versuchen wir, Quanotoren [mm] (\forall [/mm] , [mm] \exists) [/mm] zu benutzen.
[mm] \underbrace{\forall a > 0 , t \in \IR}_{=A} \Rightarrow \underbrace{\exists n \in \IN : na > t.}_{=B}
[/mm]
2. Indirekt beweisen, denn allgemein: Aus A und Nicht B [mm] \Rightarrow [/mm] Widerspruch, dann kann man sagen, dass A [mm] \Rightarrow [/mm] B eine wahre Aussage ist.
Hier:
Annahme: [mm] \exist [/mm] a > 0, t [mm] \in \IR [/mm] : [mm] \for [/mm] all n [mm] \in \IN [/mm] : na < t.
Ist t < 0, so muss danach gelten: 0 < na < t < 0, also 0 < 0, was ein Widerspruch ist.
Sei nun t [mm] \ge [/mm] 0. Dann gilt [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN: [/mm] na < t. Also ist die Folge [mm] a_n [/mm] = [mm] n\cdot [/mm] a beschränkt, ausserdem monoton, also konvergent. Dann [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n \to \infty [/mm] < t. Widerspruch!
Also ist die Annahme falsch und damit die Behauptung des Axioms richtig.
Problem: Ich weiss nicht, ob der Beweis akzeptabel ist, denn normalerweise wird das Archimedische Axiom gelernt bevor man irgendwas über Konvergebz und Zahlen Folgen lernt.
gruss,
logarithmus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:58 So 26.06.2005 | | Autor: | rotespinne |
ja soeweit sind wir leider noch nicht :( aber trotz allem : danke für deine Mühe :)
Vielleicht ist jemand anderes im forum der es so gelernt hat wie ich und mir auf diesem Wege helfen kann?
Ich komme nämlich echt nicht weiter. :(
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Hallo!
Leider haben wir Konvergenzen ect. noch nicht durchgenommen :(
Ich wäre sehr dankbar wenn mir jemand anderes helfen könnte auf dem Weg wie wir es bisher getan haben :( DANKE!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 So 26.06.2005 | | Autor: | Dreieck |
Hi!
an sich ist die archimedische Eigenschaft vom mm] [mm] \IR [/mm] [/mm] in Loddars Link im Kapitel 1.3.5 eh recht gut erklaert.
Aber ich werds versuchen in Worte auszudruecken:
Also du sollst zeigen, dass es zu jeder reellen Zahl (wurscht wie gross sie auch sein mag) eine noch groessere natuerlich Zahl gibt. Das ist dir zawr sicher klar, aber Intuition ist zu wenig, in der Mathematik muss man halt alles beweisen 
Und beweisen geht in diesem Fall besser indirekt. Das heisst man geht davon aus, es gilt nicht und fuehrt diese Annahme auf einen Widerspruch, das wollen wir mal machen.
Also wir gehen davon aus, es gibt eine reelle Zahl [mm]x\,[/mm] zu der es keine natuerliche Zahl gibt, die groesser ist, also alle natuerlichen Zahlen [mm]n\,[/mm]sind kleiner als dieses [mm]x\,[/mm]. So ein [mm]x\,[/mm] nennt man eine obere Schranke, weil keine natuerliche Zahl so gross wird, das es diese "Schranke" uebertrifft. Jede reelle Zahl, die groesser als dieses [mm]x\,[/mm] ist, ist dann auch groesser als jede natuerliche Zahl und ebenfalls "obere Schranke", du siehst also es gibt sehr viele obere Schranken, aber nur 1 kleinste obere Schranke, und die nennt man das Supremum kurz [mm]sup\,[/mm]. So wir sind nun davon ausgegangen, die natuerlichen Zahlen werden nicht unendlich gross, sondern haben ein Limit, das sogenannte Supremum der natuerlichen Zahlen, das nennen wir mal [mm]C_0\,[/mm]. Und jetzt gibts 2 Moeglichkeiten:
1.) [mm]C_0\,[/mm] ist eine natuerliche Zahl
wie du weisst sind die natuerlichen Zahlen so definiert, dass man von 1 (bzw. 0) ausgeht und durch Addition von 1 eine weitere natuerliche Zahl erhaelt, usw.
(Bsp: wenn 3 natuerliche Zahl ist, ist auch 3+1=4 eine natuerliche Zahl)
[mm]C_0\,[/mm] ist also eine natuerliche Zahl, dann ist auch [mm]C_0+1\,[/mm] eine naturliche Zahl, die ist aber groeser als [mm]C_0\,[/mm] und das widerspricht ja unsere Annahme, dass keine natuerliche Zahl groesser als eben [mm]C_0\,[/mm] ist.
2.) [mm]C_0\,[/mm] ist keine natuerliche Zahl
dann muss es aber eine natuerliche Zahl [mm]n\,[/mm] geben die groesser als [mm]C_0-1\,[/mm] und kleiner als [mm]C_0\,[/mm] ist
(7783192.396253 < natuerliche Zahl 7783193 < 7783193.396253)
jetzt aehnlich wie bei Fall 1:
wenn [mm]n\,[/mm] eine natuerliche Zahl ist, dann auch [mm]n+1\,[/mm], aber die waere ja dann groesser als [mm]C_0[/mm], was ja laut unsere Annahme nicht sein darf, wir hatten ja festgelegt keine naturlich Zahl soll groesser sein als [mm]C_0\,[/mm]
Aus diesen Widerspruechen kann man nun folgern es gibt kein solches [mm]C_0\,[/mm], somit gibt es also zu jeder reellen Zahl eine noch groessere natuerliche Zahl.
alles klar?
lG
Peter
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:58 Fr 01.05.2009 | | Autor: | alex16 |
Hi!
Mir ist der Beweis in dieser Form klar. In der Vorlesung wurde das Ganze bei uns allerdings nicht mit mit $ [mm] C_0-1\, [/mm] $ sondern mit $ [mm] C_0-\, $\bruch{1}{2} [/mm] bewiesen, was mir nicht so ganz einleuchtet.
Wähle ich als Supremum z.B. 5.9 , dann existiert keine natürliche Zahl größer 5.4, da ja laut Annahme keine natürliche Zahl größer 5.9 existiert... also kann ich auch keinen Widerspruch finden. Mit $ [mm] C_0-1\, [/mm] $ macht das ganze Sinn, weil sich ja im Intervall ($ [mm] C_0-1\, [/mm] $ , $ [mm] C_0\, [/mm] $) eine natürliche Zahl befindet.
Was meint ihr?
Vielen Dank schonmal!
Alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Mo 04.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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soweit ist das klar :) nur:
ich habe in meiner aufgabe :
zu jedem a > 0 und jedem t [mm] \varepsilon [/mm] R gibt es ein n [mm] \varepsilon [/mm] N mit na > t.
Gehe ich dann hier auch am besten mit dem indirekten Beweis vor?
Das wäre ja dann das Gegenteil: also:
na < t, oder?
Da a > o und jedes n auch größer null ist, ist mein Produkt n*a logischerweise positiv bzw. größer null.
Ich kann den BEweis bloß nicht durchführen, bzw. ich weiß nicht recht wie ich ihn ausführen bzw. aufschreiben soll??? :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:20 So 26.06.2005 | | Autor: | Dreieck |
Hi!
> Gehe ich dann hier auch am besten mit dem indirekten Beweis
> vor?
> Das wäre ja dann das Gegenteil: also:
>
> na < t, oder?
naja, du kannst ja jetzt schon zeigen, dass es zu jeder reelen Zahl t ein noch groesseres n gibt. Nachdem a > 0 ist ja dann sicher auch n*a groesser als t.
oder besser:
du formst einfach um
aus
[mm] n*a > t\, [/mm]
folgt durch Division mit a (weil a > 0)
[mm] n > \frac{t}{a} [/mm]
also was du zeigen musst ist, dass es zu jeder reellen Zahl [mm]\frac{t}{a}[/mm] eine groessere natuerliche Zahl [mm]n\,[/mm] gibt und das Procedere kennst du ja schon, oder?
lG
Peter
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ja ich kenne es mittlerweile schon, tue mich aber mit der anwendung noch sher schwer :(
aber wenn ich nun so vorgehe wie du dann bleibe ich wieder hängen.
VERDAMMT :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:46 Mo 27.06.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Fallunterscheidung
1. a [mm] \ge [/mm] 1 t aus R d.h. es existiert die natürliche Zahl n1=[t] die nächst größere ganze Zahl. dann ist n= n1+1>t und wegen a>1 n*a>t
2 .0< a<1 daraus 1/a>1 wähle n0=[1/a] wegen 1/a*a=1 ist b=(n0*a [mm] \ge [/mm] 1 jetzt kann man mit b weitermachen wie mit a bei 1. man hat dann als n das Produkt von 2 natürlichen Zahlen, also wieder ein n.
Leuchtet dir das ein?
Gruss leduart
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