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| Aufgabe | Der amerikanische Mathematiker ungarischer Herkunft George Polya arbeitete an Themen der Analysis. ....
Von ihm stammt das folgende Schema eines Urnenversuches, mit dessen Hilfe die Ausbreitung von ansteckenden Krankheiten beschrieben werden soll:
In einer Urne sind 9 schwarze und eine weiße Kugel. Eine Kugel wird gezogen und wieder zurückgelegt. Außerdem wird noch eine weitere Kugel von der Farbe der gezogenen Kugel in die Urne gelegt, sodass sich die Zahl der Kugeln in der Urne erhöht.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die dritte Kugel weiß ist, unter der Voraussetzung, dass
(1) die erste Kugel schwarz und die zweite weiß ist;
(2) die erste Kugel weiß und die zweite schwarz ist;
(3) die beiden ersten Kugeln schwarz sind;
(4) die beiden ersten Kugeln weiß sind.
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht man nacheinander 3 schwarze Kugeln?
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht man nacheinander 4 weiße Kugeln? |
Hallo,
die Aufgaben sollen nicht das Problem sein; aber ich verstehe das Modell nicht.
Hätte jemand eine Erläuterung für mich?
Vielen Dank.
Martinius
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:53 Sa 25.07.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wenn ich das richtig verstehe, wird jeweils nicht nur die Kugel zurückgeleft, sondern auch noch eine weitere der gezogenen Farbe.
Also ist die W-Keit für 2 mal Schwarz:
[mm] \bruch{9}{10}*\bruch{10}{11}
[/mm]
Oder für zwei weisse Kugeln:
[mm] \bruch{1}{10}*\bruch{2}{11}
[/mm]
erst eine weisse und dann eine schwarze würdest du mit
[mm] \bruch{1}{10}*\bruch{9}{11} [/mm] ziehen.
Erst eine schwarze und dann eine weisse mit:
[mm] \bruch{9}{10}*\bruch{1}{11}
[/mm]
Ist das Prinzip jetzt klarer. Ich bin mit einigen Kommilitonen auch schon über dieses Modell von Polya gestolpert, weil es eben so ungewöhnlich ist.
Marius
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Hallo Marius,
vielen Dank für deine Antwort.
Wie man das rechnet war mir schon klar.
Aber das Prinzip des Urnenversuchs von Polya habe ich gar nicht verstanden.
Für wen stehen die weißen Kugeln - für Erkrankte?
Und die schwarzen Kugeln für Gesunde?
Und warum kommt immer eine Kugel dazu?
Ich verschiebe das mal in den Hochschulbereich. Vielleicht kann noch jemand ( vielleicht Luis) etwas dazu sagen.
LG, Martinius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:32 Sa 25.07.2009 | | Autor: | ONeill |
Hallo!
Das Prinzip von Polya beschreibt folgendes:
Das Ziehen einer Kugel beschreibt die Infektion einer Person mit dem Krankheitserreger (Infektion bedeutet nicht, dass die Krankheit ausbricht!).
Ziehen der einen Kugel (zB schwarz) bedeutet Ausbruch der Krankheit bei einer Person.
Andere Kugelfarbe (zB weiß) bedeutet, dass die Krankheit nicht ausbricht (Immun).
Danach wird je nach Ausgang des Experimentes die entsprechende Kugel zurückgelegt und eine weitere Kugel dieser Farbe hinzugefügt.
Der Hintergrund ist der, dass jeder Krankheitsfall die Wahrscheinlichkeit neuer Krankheitsfälle erhöht und umgekehrt.
Der Inhalt der Urne selbst beschreibt dann die gegenwärtige Wahrscheinlichkeit.
Eine recht ausführliche DArstellung findest du hier:
http://www.hausarbeiten.de/faecher/vorschau/98970.html
Gruß Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:04 Sa 25.07.2009 | | Autor: | Martinius |
Hallo Christian,
abermals vielen Dank für diesen Link - so etwas hatte ich gesucht.
Hattest Du dein Abitur vielleicht in Niedersachsen gemacht?
Daher ist nämlich das Mathe-Schulbuch, welches ich gerade bearbeite (Postel & Griesel: Elemente der Mathematik, LK Stochastik).
Vor 26 Jahren hatte ich nur einen Grundkurs in Mathe in der Schule und dort nie etwas von Stochastik gehört - was ich zuweilen Anlass hatte sehr zu bedauern.
Lieben Gruß, Martin
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Nein, meine Abi habe ich 2007 in NRW gemacht, dabei war Stochastik nicht mein Lieblingsthema 