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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 So 25.10.2015 | | Autor: | nkln |
| Aufgabe | Es sei $K$ ein Körper und $V,W$ endlich-dimensionale $K$-Vektorräume.
$a)$Es sei [mm] $U\leqV [/mm] $ und [mm] $U^{0}=\{\varphi \in V^{\*}| \varphi (U)=0}$ [/mm] der Annihilator von $U$ in [mm] $V^{\*}$.Beweisen [/mm] Sie die Gleichung [mm] $dim_kU^{0}=dim_kV-dim_kU$
[/mm]
$b)$ Es sei [mm] $\varphi \in Hom_k(V,W).$Zeigen [/mm] sie,dass [mm] $Kern(\varphi^{*})=Bild(\varphi)^{0}$
[/mm]
$c)$ Es sei $ A [mm] \in K^{mxn}$.Benutzten [/mm] Sie $(a)$ und $(b)$,um einen neuen Beweis für die Aussage,dass der Zeilenrang von $A$ gleich dem Spaltenrang von $A$ ist,zu finden. |
a)
[mm] Behauptung:$dim_kU^{0}=dim_kV-dim_kU$
[/mm]
Vorüberlegung:
Annihilator definition [mm] $U^{0}=\{\varphi \in V^{*}| \phi (U)=0}$
[/mm]
Dualerraum definition $ [mm] V^{\*}:=Hom_k(V,K)$
[/mm]
außerdem gilt [mm] $dim_kV=dim_kV^{\*}=n$ [/mm] und $dim_kU=k$ mit [mm] $k\leq [/mm] n$, weil [mm] $U\leqV [/mm] $
Beweis sei [mm] $$ [/mm] eine Basis von $U$,dann ergänze ich [mm] $$ [/mm] zu einer Basis von $ V$
Daraus folgere ich ,dass [mm] $$ [/mm] eine Basis von $ [mm] V^{\*}$ [/mm]
Außerdem kann ich ja die behauptung umformen zu $: [mm] dim_kU^{0}=dim_kV-dim_kU \gdw dim_kU^{0}+dim_kU=dim_kV [/mm] $
jetzt muss ich zeigen ,dass [mm] $
aber,ich weis nicht ,wie ich zeigen ,dass die basis überhaupt in [mm] $U^{0}$ [/mm] liegt und ein erzeugenden system ist.
$b)$ Behauptung: [mm] $Kern(\varphi^{*})=Bild(\varphi)^{0}$
[/mm]
hab ich null ahnung und c) auch nicht..scheiße..:/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:01 So 25.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]K[/mm] ein Körper und [mm]V,W[/mm] endlich-dimensionale
> [mm]K[/mm]-Vektorräume.
>
> [mm]a)[/mm]Es sei [mm]U\leqV[/mm] und [mm]U^{0}=\{\varphi \in V^{\*}| \varphi (U)=0}[/mm]
> der Annihilator von [mm]U[/mm] in [mm]V^{\*}[/mm].Beweisen Sie die Gleichung
> [mm]dim_kU^{0}=dim_kV-dim_kU[/mm]
>
> [mm]b)[/mm] Es sei [mm]\varphi \in Hom_k(V,W).[/mm]Zeigen sie,dass
> [mm]Kern(\varphi^{*})=Bild(\varphi)^{0}[/mm]
>
> [mm]c)[/mm] Es sei [mm]A \in K^{mxn}[/mm].Benutzten Sie [mm](a)[/mm] und [mm](b)[/mm],um einen
> neuen Beweis für die Aussage,dass der Zeilenrang von [mm]A[/mm]
> gleich dem Spaltenrang von [mm]A[/mm] ist,zu finden.
> a)
> Behauptung:[mm]dim_kU^{0}=dim_kV-dim_kU[/mm]
>
> Vorüberlegung:
>
> Annihilator definition [mm]U^{0}=\{\varphi \in V^{*}| \phi (U)=0}[/mm]
>
> Dualerraum definition [mm]V^{\*}:=Hom_k(V,K)[/mm]
>
> außerdem gilt [mm]dim_kV=dim_kV^{\*}=n[/mm] und [mm]dim_kU=k[/mm] mit
> [mm]k\leq n[/mm], weil [mm]U\leqV[/mm]
>
>
> Beweis sei [mm][/mm] eine Basis von [mm]U[/mm],dann ergänze ich
> [mm][/mm] zu einer Basis von [mm]V[/mm]
>
> Daraus folgere ich ,dass
> [mm][/mm] eine
> Basis von [mm]V^{\*}[/mm]
Ich nehme das das die zu [mm][/mm] duale Basis ist.
>
>
> Außerdem kann ich ja die behauptung umformen zu [mm]: dim_kU^{0}=dim_kV-dim_kU \gdw dim_kU^{0}+dim_kU=dim_kV[/mm]
>
>
> jetzt muss ich zeigen ,dass [mm][/mm]
> eine Basis von [mm]U^{0}[/mm] ist
>
> aber,ich weis nicht ,wie ich zeigen ,dass die basis
> überhaupt in [mm]U^{0}[/mm] liegt und ein erzeugenden system ist.
>
>
Du hast mit
[mm][/mm]
die Dualbasis gewählt, somit ist
[mm] v_i^{\*}(v_j)=0 [/mm] für i [mm] \ge [/mm] k+1 und j [mm] \le [/mm] k.
Damit sind [mm] v_{k+1}^{\*},....,v_n^{\*} \in U^0.
[/mm]
Ist [mm] \varphi \in U^0, [/mm] so gibt es [mm] a_1,....,a_n \in [/mm] K mit
[mm] \varphi=a_1v_1^{\*}+...+a_nv_n^{\*}
[/mm]
Zeige [mm] a_j [/mm] =0 für j [mm] \le [/mm] k.
Damit ist [mm] U^0 [/mm] auch enthalten in der linearen Hülle von [mm] v_{k+1}^{\*},....,v_n^{\*}
[/mm]
>
> [mm]b)[/mm] Behauptung: [mm]Kern(\varphi^{*})=Bild(\varphi)^{0}[/mm]
>
> hab ich null ahnung und c) auch nicht..scheiße..:/
Zu b) benutze die Def. von [mm] \varphi^{*} [/mm] !!!
c) machen wir später.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 So 25.10.2015 | | Autor: | nkln |
lieber fred:)
ich verstehe den schritt hier nicht
$ [mm] v_i^{*}(v_j)=0 [/mm] $ für i $ [mm] \ge [/mm] $ k+1 und j $ [mm] \le [/mm] $ k.
wieso ist das so?
das war auch das problem warum ich den beweis nicht hinkriege
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:12 So 25.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> lieber fred:)
>
> ich verstehe den schritt hier nicht
>
> [mm]v_i^{*}(v_j)=0[/mm] für i [mm]\ge[/mm] k+1 und j [mm]\le[/mm] k.
>
>
> wieso ist das so?
>
>
Duale Basis. Was versteht man darunter ?
Fred
> das war auch das problem warum ich den beweis nicht
> hinkriege
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:55 Mo 26.10.2015 | | Autor: | nkln |
also unsere definition von dualer basis ist
Sei [mm] $dim_kV=n<\infty$ [/mm] und sei [mm] $(v_1,..,v_n)$ [/mm] eine Basis von $V$. Dann existieren eindeutig bestimmte Elemente [mm] $v_1^{\*},...v_n^{\*}\in V^{\*}$ [/mm] mit [mm] $v_i^{\*}(v_j)= \delta_{i,j} [/mm] $(Kronecker Delta) , dann ist [mm] $v_1^{\*},...v_n^{\*}\in V^{\*}$ [/mm] die zu [mm] $(v_1,..,v_n)$ [/mm] duale Basis. Das kronecker delta bildet jetzt hier wo $i=j$ ist 'ne $1$ ,sonst überall 'ne $0$
Ich mach die Beweis nochmal selber hier
zu zeigen [mm] $dim_kU^{0}=dimk_V-dim_kU$:
[/mm]
zu erst sage dabei wir im endlichen sind [mm] $dimk_V=n [/mm] ,dim_kU=r$ mit [mm] $r\leq [/mm] n$
ich wähle mir zuerst wieder ne basis von $U$ ,also [mm] $$. [/mm] Die ergänze ich mit dem Basisergänzungssatz zu einer Basis von $V$ mit [mm] $$ [/mm] und bilde die Duale basis [mm] $$ [/mm] zu [mm] $V^{\*}$
[/mm]
Zeigen will ich jetzt ,dass [mm] $$ [/mm] ne Basis von [mm] $U^{0}$ [/mm] ist ,weil dann hätte ich [mm] $dim_kU^{0}= [/mm] n-r$ ,was ziemlich nice wäre,da das genau [mm] $dimk_V-dim_kU$ [/mm] wäre;)
jetzt kommt,das was der liebe Fred gesagt hat $ [mm] v_i^{\*}(v_j)=0 [/mm] $ für $ i [mm] \ge [/mm] r+1$ und $j [mm] \le [/mm] r$. Daraus folgt [mm] $ \in U^{0}$(Reicht [/mm] die Begründung aus?) Außerdem ist 'ne Basis linearunabhängig,da sie die größt mögliche Linear unabhängige Teilmenge ist.
jetzt nehme ich mir ein [mm] $\varphi \in U^{0}$ [/mm] mit [mm] $\varphi [/mm] = [mm] a_{r+1}*v_{r+1}^{\*}+...+a_n*v_n^{\*}$ [/mm] um zu zeigen ,dass [mm] $=U^{0}$
[/mm]
da [mm] $\varphi [/mm] = [mm] a_{r+1}*v_{r+1}^{\*}+...+a_n*v_n^{\*}=0$ [/mm] um per Definiton von [mm] $U^{0}$$ [/mm] da drin zu liegen ,müssen alle [mm] a_{r+1}=......=a_n=0 [/mm] sein und das klappt ,da [mm] $$ [/mm] eine Basis ist.:)
ist das gut so Fred?:)
$ b) $ Es sei $ [mm] \varphi \in Hom_k(V,W). [/mm] $Zeigen sie,dass $ [mm] Kern(\varphi^{\*})=Bild(\varphi)^{0} [/mm] $
also dann ist $ [mm] \varphi^{\*} \in Hom_k(W^{\*},V^{\*})$ [/mm] . Habe ich jetzt die lineare Abbildung [mm] $\varphi^{\*} :W^{\*} \to V^{\*}$
[/mm]
sei jetzt [mm] $\phi \in W^{\*}$ [/mm] und sei jetzt [mm] $\phi \in Bild(\varphi)^{0} \gdw \phi(\varphi(v))=0 \forall [/mm] v [mm] \in [/mm] V [mm] \gdw (\phi \circ \varphi)(v)=0 \gdw (\varphi^{\*}\circ \phi)(v)=0 \forall [/mm] v [mm] \in [/mm] V [mm] \gdw \phi \in Kern(\varphi^{\*})$
[/mm]
ist das so vertretbar?
$ c) $ Es sei $ A [mm] \in K^{mxn} [/mm] $.Benutzten Sie $ (a) $ und $ (b) $,um einen neuen Beweis für die Aussage,dass der Zeilenrang von $ A $ gleich dem Spaltenrang von $ A $ ist,zu finden.
sei [mm] $\varphi: K^m \to K^n [/mm] $ und die duale Abbildung [mm] $\varphi^{\*}: K^n \to K^m$ [/mm] dann ist der Zeilenrang von $ A [mm] \in K^{mxn} [/mm] $ gleich dem Spaltenrang in $ A [mm] \in K^{nxm} [/mm] $
dass heißt [mm] $Rang(\varphi)=Rang(\varphi^{\*})$
[/mm]
vorweg [mm] $\varphi: K^m \to K^n$ [/mm] .Dann ist $dimK= [mm] dim_KKern(\varphi^{\*})+dim_KRang(\varphi^{\*}) \gdw dim_KRang(\varphi^{\*})= dimK-dim_KKern(\varphi^{\*}) [/mm] $ jetzt mit aufgabenteil $b)$ ist das $dimK= [mm] dim_KKern(\varphi^{\*})+dim_KRang(\varphi^{\*}) \gdw dim_KRang(\varphi^{\*})= dimK-dim_KKern(\varphi^{\*})= dimK-Bild(\varphi)^{0}$ [/mm] jetzt mit aufgaben teil $a)$ , da [mm] $Bild(\varphi)^{0}$ [/mm] ein Untervektorraum ist von [mm] $K^m$ [/mm] ,also $ dimK= [mm] dim_KKern(\varphi^{\*})+dim_KRang(\varphi^{\*}) \gdw dim_KRang(\varphi^{\*})= dimK-dim_KKern(\varphi^{\*})= dimK-Bild(\varphi)^{0}= dimK-(dimK-dim_kBild(\varphi))=dim_kBild(\varphi)= dim_KRang(\varphi)$
[/mm]
daraus folgt [mm] $dim_KRang(\varphi^{\*})= dim_KRang(\varphi)$
[/mm]
ist das so gutlieber fred?:)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mi 28.10.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:06 So 25.10.2015 | | Autor: | hippias |
> Es sei [mm]K[/mm] ein Körper und [mm]V,W[/mm] endlich-dimensionale
> [mm]K[/mm]-Vektorräume.
>
> [mm]a)[/mm]Es sei [mm]U\leqV[/mm] und [mm]U^{0}=\{\varphi \in V^{\*}| \varphi (U)=0}[/mm]
> der Annihilator von [mm]U[/mm] in [mm]V^{\*}[/mm].Beweisen Sie die Gleichung
> [mm]dim_kU^{0}=dim_kV-dim_kU[/mm]
>
> [mm]b)[/mm] Es sei [mm]\varphi \in Hom_k(V,W).[/mm]Zeigen sie,dass
> [mm]Kern(\varphi^{*})=Bild(\varphi)^{0}[/mm]
>
> [mm]c)[/mm] Es sei [mm]A \in K^{mxn}[/mm].Benutzten Sie [mm](a)[/mm] und [mm](b)[/mm],um einen
> neuen Beweis für die Aussage,dass der Zeilenrang von [mm]A[/mm]
> gleich dem Spaltenrang von [mm]A[/mm] ist,zu finden.
> a)
> Behauptung:[mm]dim_kU^{0}=dim_kV-dim_kU[/mm]
>
> Vorüberlegung:
>
> Annihilator definition [mm]U^{0}=\{\varphi \in V^{*}| \phi (U)=0}[/mm]
>
> Dualerraum definition [mm]V^{\*}:=Hom_k(V,K)[/mm]
>
> außerdem gilt [mm]dim_kV=dim_kV^{\*}=n[/mm] und [mm]dim_kU=k[/mm] mit
> [mm]k\leq n[/mm], weil [mm]U\leqV[/mm]
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> Beweis sei [mm][/mm] eine Basis von [mm]U[/mm],dann ergänze ich
> [mm][/mm] zu einer Basis von [mm]V[/mm]
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> Daraus folgere ich ,dass
> [mm][/mm] eine
> Basis von [mm]V^{\*}[/mm]
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>
> Außerdem kann ich ja die behauptung umformen zu [mm]: dim_kU^{0}=dim_kV-dim_kU \gdw dim_kU^{0}+dim_kU=dim_kV[/mm]
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>
> jetzt muss ich zeigen ,dass [mm][/mm]
> eine Basis von [mm]U^{0}[/mm] ist
>
> aber,ich weis nicht ,wie ich zeigen ,dass die basis
> überhaupt in [mm]U^{0}[/mm] liegt und ein erzeugenden system ist.
>
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> [mm]b)[/mm] Behauptung: [mm]Kern(\varphi^{*})=Bild(\varphi)^{0}[/mm]
>
> hab ich null ahnung und c) auch nicht..scheiße..:/
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