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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:17 Fr 31.07.2009 | | Autor: | tony90 |
| Aufgabe | folgende dgl ist zu lösen:
y'*(2*y+x)+y=0 mit y(0)=a >0
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hallo,...
die folgende dgl hab ich umgestellt:
y'= - [mm] \bruch{1}{2+\bruch{x}{y}}
[/mm]
mit der substitution [mm] u=\bruch{x}{y}
[/mm]
ergibt sich: [mm] y'=\bruch{u-x*u'}{u^2}
[/mm]
dann setze ich gleich und bekomme:
- [mm] \bruch{1}{2+\bruch{x}{y}}=\bruch{u-x*u'}{u^2}
[/mm]
jetzt kann ich ja separieren:
[mm] \bruch{2+u}{u^2+u*(2+u)} [/mm] du = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] dx
dies kann ich nun integrieren und erhalte:
[mm] -\bruch{1}{2}* ln(\bruch{u+1}{u^2}) [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}*ln(C) [/mm] = ln(x)
ich habe hier die integrationskonstante mit [mm] \bruch{1}{2}*ln(C) [/mm] angesetzt damit ich das ganze zusammenfassen kann..
hoffe das das so geht?!
löse ich das ganze auf steht dann da:
[mm] \wurzel{\bruch{u^2}{u+1}*C}=x
[/mm]
quadrieren und resubstituieren liefert mir:
[mm] x*y+y^2=C
[/mm]
Wie kriege ich das jetzt auf die form y(x) = ... ???
ist mein weg überhaupt korrekt?
danke für die hilfe
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> folgende dgl ist zu lösen:
>
> y'*(2*y+x)+y=0 mit y(0)=a >0
>
> hallo,...
> die folgende dgl hab ich umgestellt:
>
> y'= - [mm]\bruch{1}{2+\bruch{x}{y}}[/mm]
>
> mit der substitution [mm]u=\bruch{x}{y}[/mm]
>
> ergibt sich: [mm]y'=\bruch{u-x*u'}{u^2}[/mm]
>
> dann setze ich gleich und bekomme:
>
> - [mm]\bruch{1}{2+\bruch{x}{y}}=\bruch{u-x*u'}{u^2}[/mm]
>
> jetzt kann ich ja separieren:
>
> [mm]\bruch{2+u}{u^2+u*(2+u)}[/mm] du = [mm]\bruch{1}{x}[/mm] dx
>
> dies kann ich nun integrieren und erhalte:
>
> [mm]-\bruch{1}{2}* ln(\bruch{u+1}{u^2})[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}*ln(C)[/mm]
> = ln(x)
>
>
> ich habe hier die integrationskonstante mit
> [mm]\bruch{1}{2}*ln(C)[/mm] angesetzt damit ich das ganze
> zusammenfassen kann..
>
> hoffe das das so geht?!
>
> löse ich das ganze auf steht dann da:
>
> [mm]\wurzel{\bruch{u^2}{u+1}*C}=x[/mm]
>
> quadrieren und resubstituieren liefert mir:
>
> [mm]x*y+y^2=C[/mm]
pq formel von [mm] y^2+x*y-C=0
[/mm]
für mehr hab ich grade keine zeit 
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> Wie kriege ich das jetzt auf die form y(x) = ... ???
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> ist mein weg überhaupt korrekt?
>
> danke für die hilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:39 Fr 31.07.2009 | | Autor: | tony90 |
sorry aber das ist mir jetzt grad etwas zu hoch,...
1. was bringt es mir die nullestellen zu kennen?
2. was mache ich damit wenn ich sie habe? dann hab ich lösungen für y1 und y2?! ist die dgl dann auf beide arten definiert?
danke gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:02 Fr 31.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Du hast
$ [mm] x\cdot{}y+y^2=C [/mm] $
Wegen y(0) = a >0 folgt: C = [mm] a^2. [/mm] Nun lösen wir die Gleichung
[mm] $y^2+xy-a^2=0$
[/mm]
nach y auf. Das liefert:
$y(x) = [mm] -\bruch{1}{2}x \pm \wurzel{\bruch{1}{4}x^2+a^2}$
[/mm]
Dann ist $y(0) = [mm] \pm [/mm] a$
Wegen $y(0) = a >0$ ist die Lösung des Anfangswertproblems gegeben durch:
$y(x) = [mm] -\bruch{1}{2}x [/mm] + [mm] \wurzel{\bruch{1}{4}x^2+a^2}$
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:16 Fr 31.07.2009 | | Autor: | tony90 |
alles klar,... danke
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