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Hallo,
ich habe die fkt [mm] f=(5-y)^2*(9-x^2)*e^y
[/mm]
untersuchen sollte ich die lokalen Extrema:
für die kritischen stellen, habe ich unter anderem den punkt
[mm] \vektor{x \\ 5} [/mm] rausbekommen.
für diesen punkt/punkte versagen leider alle hinreichenden kriterien und ich kann keine aussage machen.
in der musterlösung, wurde eine fkt untersuchung durchgeführt.
z.b. wurde herausgefunden, das für x>3 ein lokales max vorliegt.
wenn ich y=5 und x frei wähle und es in die funktion einsetze bekomme ich doch immer den gleichen fkt wert raus, den wert 0
deswegen verstehe ich nicht wieso ich hier noch unterscheiden muss.
für x betrag<3 bekommt man laut musterlösung z.b. ein lok min raus.
steh total auf dem schlauch
philipp
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> Hallo,
> ich habe die fkt [mm]f=(5-y)^2*(9-x^2)*e^y[/mm]
>
> untersuchen sollte ich die lokalen Extrema:
>
> für die kritischen stellen, habe ich unter anderem den
> punkt
>
> [mm]\vektor{x \\ 5}[/mm] rausbekommen.
Dabei handelt es sich natürlich nicht um einen
Punkt, sondern um unendlich viele !
> für diesen punkt/punkte versagen leider alle hinreichenden
> kriterien und ich kann keine aussage machen.
>
> in der musterlösung, wurde eine fkt untersuchung
> durchgeführt.
>
> z.b. wurde herausgefunden, das für x>3 ein lokales max
> vorliegt.
Dabei handelt es sich aber nicht wirklich um ein ganz
"lokales" Maximum, sondern um eine horizontale
Linie, die die Scheitellinie eines beidseitig von ihr
abfallenden Hügels bildet.
> wenn ich y=5 und x frei wähle und es in die funktion
> einsetze bekomme ich doch immer den gleichen fkt wert raus,
> den wert 0
> deswegen verstehe ich nicht wieso ich hier noch
> unterscheiden muss.
> für x betrag<3 bekommt man laut musterlösung z.b. ein lok
> min raus.
ebenso nicht ein punktförmig lokales Minimum,
sondern so etwas wie das langgestreckte Minimum
in einer horizontalen Dachrinne.
Hallo Philipp,
Bei dieser Funktion lohnt sich bestimmt ein erster
grober Überblick mit Nullstellen- und Vorzeichen-
überlegungen. Stellen wir uns also den Graph der
Funktion im [mm] \IR^3 [/mm] vor. Der Graph ist die Fläche mit
der Gleichung
[mm] z=f(x,y)=\underbrace{(5-y)^2}_{f_1}*\underbrace{(9-x^2)}_{f_2}*\underbrace{e^y}_{f_3}
[/mm]
Die Formel besteht aus 3 Faktoren [mm] f_1, f_2 [/mm] und [mm] f_3. [/mm]
Der erste, [mm] f_1=(5-y)^2 [/mm] , ist gleich null für alle
(x,y) mit y=5, also entlang der Geraden y=5 in der
x-y-Ebene. Überall sonst ist dieser Faktor positiv
(wegen dem Quadrat).
Der zweite Faktor [mm] f_2=(9-x^2) [/mm] kann Werte zwischen
+9 und [mm] -\infty [/mm] annehmen. Null wird der Ausdruck entlang
der beiden Geraden x=3 und x=-3. Innerhalb des
Streifens zwischen diesen Geraden ist [mm] f_2>0, [/mm] ausserhalb
ist [mm] f_2<0.
[/mm]
Der dritte Faktor [mm] f_3=e^y [/mm] ist überall positiv.
Insgesamt wird klar: Die Gerade mit y=5 , z=0 ist
zwischen den Punkten (-3/5) und (+3/5) eine
"Talgrundlinie", ausserhalb dieser Strecke so etwas
wie eine "Gratlinie". Punktartige Minima in der Art
von "Muldentiefpunkten" oder Maxima in der Form
von "Bergspitzen" oder "Hügelkuppen" gibt es wohl
keine.
Gruß Al-Chw.
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