alpha-Hölder-Stetigkeit < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | | Sei $0<a<1$ und sei $f: (0, [mm] \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ [/mm] durch [mm] $f(x):=x^{a}$ [/mm] definiert. Untersuchen Sie, für welche [mm] $\alpha \in [/mm] (0, 1]$ die Funktion f im Intervall $(0, [mm] \infty)$ $\alpha$-Hölder-stetig [/mm] ist. Ist f insbesondere Lipschitz-stetig? |
| Aufgabe 2 | | Sei r>0. untersuchen Sie, für welche [mm] $\alpha \in [/mm] (0, 1]$ der natürliche Logarithmus [mm] $\ln$ [/mm] im Intervall $[r, [mm] \infty)$ $\alpha$-Hölder-stetig [/mm] ist. |
Ich finde zur 1.Aufgabe leider nichtmal einen Ansatz. :(
Der Term [mm] $|x^{a}-y^{a}|$ [/mm] lässt sich leider etwas schlecht bearbeiten, als dass ich auf eine brauchbare Ungleichung käme. Meine erste Idee, zu zeigen, dass [mm] $f(x)=x^{a}$ [/mm] Lipschitz-stetig ist, war, den Mittelwertsatz der Differentialrechnung zu verwenden, doch bringt mich auch das wegen der 0 als Intervallende nicht weiter.
Auch der Term [mm] $|\ln(x)-\ln(y)|$, [/mm] der in Aufgabe 2 entsteht, lässt sich schwer handhaben, allerdings lässt sich hier gut der Mittelwertsatz der Differentialrechnung benutzen:
Da [mm] $\ln(x)$ [/mm] in $[r, [mm] \infty)$ [/mm] differenzierbar ist, gibt es ein $c [mm] \in [/mm] (y,x)$, sodass [mm] $|f(x)-f(y)|=|\frac{1}{c}| \cdot [/mm] |x-y|$ und damit erst recht $|f(x)-f(y)| [mm] \leq |\frac{1}{r}| \cdot [/mm] |x-y|$ gilt. Damit ist [mm] $\ln(x)$ [/mm] in $[r, [mm] \infty)$ [/mm] Lipschitz-stetig.
Kann man das so stehen lassen? Gibt es noch andere [mm] $\alpha$, [/mm] die [mm] $\ln(x)$ $\alpha$-Hölder-stetig [/mm] machen? Wie finde ich diese?
Ich würde mich über Hinweise sehr freuen! :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:10 Mi 04.01.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei [mm]0
> durch [mm]f(x):=x^{a}[/mm] definiert. Untersuchen Sie, für welche
> [mm]\alpha \in (0, 1][/mm] die Funktion f im Intervall [mm](0, \infty)[/mm]
> [mm]\alpha[/mm]-Hölder-stetig ist. Ist f insbesondere
> Lipschitz-stetig?
>
> Sei r>0. untersuchen Sie, für welche [mm]\alpha \in (0, 1][/mm] der
> natürliche Logarithmus [mm]\ln[/mm] im Intervall [mm][r, \infty)[/mm]
> [mm]\alpha[/mm]-Hölder-stetig ist.
>
> Ich finde zur 1.Aufgabe leider nichtmal einen Ansatz. :(
> Der Term [mm]|x^{a}-y^{a}|[/mm] lässt sich leider etwas schlecht
> bearbeiten, als dass ich auf eine brauchbare Ungleichung
> käme.
Wieso, es ist doch ganz einfach, erst einmal die Frage aufzustellen:
Für welche [mm] $\alpha \in [/mm] (0, 1]$ gibt es eine Konstante $C>0$, sodass
[mm]|x^a-y^a| \le C |x^\alpha-y^\alpha|[/mm] ?
Offensichtlich gibt es so ein C für [mm] $\alpha=a$. [/mm] Nun unterscheidest du die Fälle [mm] $\alpha>a$ [/mm] und [mm] $\alpha [/mm] <a$.
Tipp: O.B.d.A. kannst du $y<x$ annehmen und die Ungleichung umschreiben in
[mm] |x|^a \left|1-\left(\bruch{y}{x}\right)^a\right| \le C |x|^\alpha \left|1-\left(\bruch{y}{x}\right)^\alpha\right| [/mm].
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:21 Mi 04.01.2012 | | Autor: | Feuervogel |
Leider ist das keine Hölder-Stetigkeit. Wäre ja schön, wenn es so einfach wäre...
Hölder-Stetigkeit würde bedeuten, dass es ein $C>0$ und [mm] $0<\alpha \leq [/mm] 1$ gibt mit [mm] $|x^{a}-y^{a}| \leq [/mm] C [mm] \cdot |x-y|^{\alpha}$.
[/mm]
Liebe Grüße,
Feuervogel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:54 Mi 04.01.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Leider ist das keine Hölder-Stetigkeit. Wäre ja schön,
> wenn es so einfach wäre...
> Hölder-Stetigkeit würde bedeuten, dass es ein [mm]C>0[/mm] und
> [mm]0<\alpha \leq 1[/mm] gibt mit [mm]|x^{a}-y^{a}| \leq C \cdot |x-y|^{\alpha}[/mm].
Ja, da habe ich die Exponenten falsch geschrieben.
Für $0<y<x$ ist zu zeigen:
[mm] x^a\left(1-\left(\bruch{y}{x}\right)^a\right) \le C x^\alpha \left(1-\bruch{y}{x}\right)^\alpha [/mm] .
Oder:
[mm] x^{a-\alpha} \bruch{1-\left(\bruch{y}{x}\right)^a}{\left(1-\bruch{y}{x}\right)^\alpha} \le C [/mm] .
Für [mm] $a=\alpha$ [/mm] ist dies mit $C=1$ erfüllt.
Viele Grüße
Rainer
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Die erste Aufgabe habe ich mittlerweile lösen können und kam darauf, dass $f$ nur für [mm] $\alpha=a$ [/mm] Hölder-stetig ist. Ist das korrekt?
Bei Aufgabe zwei habe ich es dann mit der Ungleichung [mm] $\ln(x) \leq [/mm] x-1$ probiert, kam aber auf kein zielführendes Ergebnis. Gibt es nicht noch irgendeinen kleinen Tipp oder kann mir jemand sagen, für welche [mm] $\alpha$ [/mm] außer der schon gefundenen 1 die Funktion [mm] $\ln$ [/mm] in dem betreffenden Intervall Hölder-stetig ist? Dann wüsste ich wenigstens, wonach ich gezielter suchen muss.
Viele Grüße,
Feuervogel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mo 09.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Do 12.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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