allg. Lösung lin. gDGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:54 Mi 19.12.2007 | | Autor: | Jebediah |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die allgemeine Lösung dieser linearen gDGL 1.Ordnung:
[mm]y'+6*\bruch{y}{x^2}=\bruch{1}{x^2}[/mm]
Hinweis: Variation der Konstanten mit der Substitutionsregel
[mm]\integral g'(x)*f(g(x))\, dx = \integral f(u)\, du[/mm] |
Ich habe zuerst die homogene DGL gelöst:[mm]y=C*e^\bruch{6}{x}[/mm]
Variation der Konstanten:
[mm]y=K*e^\bruch{6}{x}[/mm]
[mm]y'=-K*\bruch{6}{x^2}*e^\bruch{6}{x}+K'*e^\bruch{6}{x}[/mm]
eingesetzt in [mm]y'+6*\bruch{y}{x^2}=\bruch{1}{x^2}[/mm]
folgt: [mm]K'*e^\bruch{6}{x}=\bruch{1}{x^2}[/mm]
mit der o.g. Substitutionsegel löse ich das Integral und erhalte:
[mm]K=\bruch{1}{6}*e^\bruch{-6}{x}[/mm]
das müsste ich jetzt in [mm]y=K*e^\bruch{6}{x}[/mm] einsetzen:
[mm]y=\bruch{1}{6}*e^\bruch{-6}{x}*e^\bruch{6}{x}=\bruch{1}{6}[/mm]
Kann das tatsächlich die Lösung der DGL sein?
Wenn ich die Probe mache und in die Original-DGL ([mm]y'+6*\bruch{y}{x^2}=\bruch{1}{x^2}[/mm]) einsetze, erhalte ich:
[mm]0+6*\bruch{\bruch{1}{6}}{x^2}=\bruch{1}{x^2}[/mm]
Das würde ja passen, aber Maple sagt mir für die Allgemeine Lösung: [mm]y=\bruch{1}{6}+C*e^\bruch{6}{x}[/mm]
Das verwirrt mich etwas.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:58 Mi 19.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jebediah!
Mit $y \ = \ [mm] y_H [/mm] \ = \ [mm] C*e^{\bruch{6}{x}}$ [/mm] hast Du die homogene Lösung der DGL ermittelt.
Die Lösung $y \ = \ [mm] y_P [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{6}$ [/mm] ist die partikuläre Lösung für das Störglied.
Die Gesamtlösung ermittelt sich dann stets über den Ansatz:
$$y \ = \ [mm] y_H+y_P [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:09 Mi 19.12.2007 | | Autor: | Jebediah |
Vielen Dank Loddar für die schnelle Antwort,
jetzt ist mir das klar. Irgendwie sagt das mein Lehrbuch (Papula) leider nicht so explizit.
Gruß
Jebediah
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