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| Aufgabe | Man bestimme alle Lösungen des folgenden Systems von Kongruenzen:
[mm] x\equiv0(mod3), x\equiv(2mod7), x\equiv(10mod13). [/mm] |
Mein Vorgehen:
[mm] a_1=0, m_1=3, a_2=2, m_2=7, a_3=10, m_3=13
[/mm]
m = 3*7*13=273
[mm] M_1=m/m_1=273/3=91
[/mm]
[mm] M_2=m/m_2=273/7=39
[/mm]
[mm] M_3=m/m_3=273/13=21
[/mm]
[mm] M_1 [/mm] * [mm] y_1 [/mm] = 91 * 3 [mm] \equiv [/mm] 0(mod3) => [mm] y_1 [/mm] = 3
[mm] M_2 [/mm] * [mm] y_2 [/mm] = 39 * 4 [mm] \equiv [/mm] 2(mod7) => [mm] y_2 [/mm] = 4
[mm] M_3 [/mm] * [mm] y_3 [/mm] = 21 * 11 [mm] \equiv [/mm] 10(mod11) => [mm] y_3 [/mm] = 11
Dann in die Formel eingesetzt:
x= [mm] a_1*M_1*y_1 +a_2*M_2*y_2 +a_3*M_3*y_3 [/mm]
x= [mm] 0*M_1*y_1 [/mm] + 2*39*4 + 10*21*11 = 2622
2622 [mm] \equiv [/mm] 165 (mod273) => x=165+ 273*z, z [mm] \in \IZ
[/mm]
Bei der Probe allerdings funktioniert es bei mod 7 und 11 nicht richtig.
Es kommt immer 9 als Rest raus.
Wo habe ich einen Fehler gemacht? Könnt ihr mir helfen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:24 Do 14.02.2008 | | Autor: | abakus |
> Man bestimme alle Lösungen des folgenden Systems von
> Kongruenzen:
> [mm]x\equiv0(mod3), x\equiv(2mod7), x\equiv(10mod13).[/mm]
> Mein
> Vorgehen:
>
> [mm]a_1=0, m_1=3, a_2=2, m_2=7, a_3=10, m_3=13[/mm]
>
> m = 3*7*13=273
>
> [mm]M_1=m/m_1=273/3=91[/mm]
> [mm]M_2=m/m_2=273/7=39[/mm]
> [mm]M_3=m/m_3=273/13=21[/mm]
Hallo,
ich sehe zwar, was du gemacht hast, kann aber die Zweckmäßigkeit nicht in jedem Schritt erkennen.
Ich möchte es mal in Form von Gleichungen formulieren.
(1) x=3*a
(2) x=7*b+2
(3) x=13*c+10
mit a, b, c [mm] \in \IZ
[/mm]
Aus (1) und (2) folgt 3*a=7b+2 und daraus [mm] 3*a\equiv [/mm] 2 mod(7).
Eine Lösung ist a=3, alle Lösungen sind a=3+7*k.
Aus (1) und (3) folgt 3*a=13*c+10, mit a=3+7*k wird daraus
3*(3+7*k)=13*c+10 bzw.
9+21*k=13*c+10 bzw.
21*k=13*c+1
Daraus folgt [mm] 21*k\equiv [/mm] 1 mod(13). Eine Lösung ist k=5, alle Lösungen sind k=5+13*n
Aus k=5+13*n und a=3+7*k folgt a=3+7*(5+13*n)=38+91*n.
Wegen x=3*a gilt x=114+273*n.
Viele Grüße
Abakus
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> [mm]M_1[/mm] * [mm]y_1[/mm] = 91 * 3 [mm]\equiv[/mm] 0(mod3) => [mm]y_1[/mm] = 3
> [mm]M_2[/mm] * [mm]y_2[/mm] = 39 * 4 [mm]\equiv[/mm] 2(mod7) => [mm]y_2[/mm] = 4
> [mm]M_3[/mm] * [mm]y_3[/mm] = 21 * 11 [mm]\equiv[/mm] 10(mod11) => [mm]y_3[/mm] = 11
>
>
> Dann in die Formel eingesetzt:
>
> x= [mm]a_1*M_1*y_1 +a_2*M_2*y_2 +a_3*M_3*y_3[/mm]
>
> x= [mm]0*M_1*y_1[/mm] + 2*39*4 + 10*21*11 = 2622
>
> 2622 [mm]\equiv[/mm] 165 (mod273) => x=165+ 273*z, z [mm]\in \IZ[/mm]
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> Bei der Probe allerdings funktioniert es bei mod 7 und 11
> nicht richtig.
> Es kommt immer 9 als Rest raus.
> Wo habe ich einen Fehler gemacht? Könnt ihr mir helfen.
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