affiner Unterraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:39 Sa 13.12.2008 | | Autor: | trek |
| Aufgabe | | Sei [mm] \{v_1,v_2\} [/mm] linear unabhängig in [mm] \IR^n. [/mm]Zeigen Sie dass die Menge A:= [mm] \{a_1v_1 + a_2v_2: a_1 + a_2 =1\} [/mm] ein affiner Unterraum von [mm] \IR^n [/mm] ist und bestimmen Sie seine Dimension. |
Hallo. Ich hoffe es kann mir jemand auf die Sprünge helfen. Weiß leider nicht wie ich da anfangen soll. Wär super wenn mir jemand nicht nur Denkansätze geben würde sondern auch konkrete Ansätze auf das Beispiel bezogen ( Bin mit der Linearen Algebra noch nicht so ganz vertraut ) ;)
Danke schon mal
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei [mm]\{v_1,v_2\}[/mm] linear unabhängig in [mm]\IR^n. [/mm]Zeigen Sie dass
> die Menge A:= [mm]\{a_1v_1 + a_2v_2: a_1 + a_2 =1\}[/mm] ein affiner
> Unterraum von [mm]\IR^n[/mm] ist und bestimmen Sie seine Dimension.
> Hallo. Ich hoffe es kann mir jemand auf die Sprünge
> helfen. Weiß leider nicht wie ich da anfangen soll.
Hallo,
leider bringst Du keinerlei Lösungsansätze, so daß man gar nicht sehen kann, inwieweit Du informiert bist.
Der allererste Ansätze wäre hier das Herausfinden dessen, was mit affiner Unterraum gemeint ist. Denn da Du zeigen sollst, daß A einer ist, gibt diese definition natürlich den Fahrplan vor.
Wenn Du die Def. hast, kannst Du ja schonmal sagen, wonach Du suchen mußt.
> Wär
> super wenn mir jemand nicht nur Denkansätze geben würde
> sondern auch konkrete Ansätze auf das Beispiel bezogen
Schau Dir die menge A genau an. In ihr sind ja Linearkombinationen von [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] enthalten, und zwar ganz bestimmte. Welche?
danach können wir weitersehen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:39 So 14.12.2008 | | Autor: | trek |
> Hallo,
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> leider bringst Du keinerlei Lösungsansätze, so daß man gar
> nicht sehen kann, inwieweit Du informiert bist.
>
> Der allererste Ansätze wäre hier das Herausfinden dessen,
> was mit affiner Unterraum gemeint ist. Denn da Du zeigen
> sollst, daß A einer ist, gibt diese definition natürlich
> den Fahrplan vor.
>
> Wenn Du die Def. hast, kannst Du ja schonmal sagen, wonach
> Du suchen mußt.
>
Also die Definition die ich kenne lautet:
Eine Teilmenge A eines Vektorraums V heißt affiner Unterraum, falls es ein v e V und einen Untervektorraum U e V gibt, so daß A = v + U.
Also ein verschobener Untervektorraum.
> Schau Dir die menge A genau an. In ihr sind ja
> Linearkombinationen von [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] enthalten, und zwar ganz bestimmte. Welche?
>
> danach können wir weitersehen.
>
Naja, das die Skalare zusammen addiert immer 1 ergeben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:11 So 14.12.2008 | | Autor: | SEcki |
> Also die Definition die ich kenne lautet:
> Eine Teilmenge A eines Vektorraums V heißt affiner
> Unterraum, falls es ein v e V und einen Untervektorraum U e
> V gibt, so daß A = v + U.
Also quasi anders ausgedrückt: [m]A - v=U[/m]. Jetzt gibt es zwei offensichtliche vektoren, die dieses v für A sein können (welche?). Nun musst du zeigen, dass dann dieses [m]A-v[/m] ein Untervektorraum ist.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 So 14.12.2008 | | Autor: | trek |
Danke für den Tipp mit A -v = U. Jetzt ist mir die Aufgabenstellung auch schon klarer.
Meinst du mit den beiden offensichtlichen Vektoren die lin. u. Vektoren aus der Angabe?
Aber wie ziehe ich Vektoren von einer Menge ab? Kannst du mir da noch einen Tipp geben?
Der letzte Schritt ist mir dann glaube ich klar.
Da muss nicht für das Ergebnis nur noch prüfen:
1) Der Untervektorraum darf nicht 0 sein.
2) Es muss die Addition
3) bzw. die Mulitplikation definiert sein.
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> Danke für den Tipp mit A -v = U. Jetzt ist mir die
> Aufgabenstellung auch schon klarer.
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> Meinst du mit den beiden offensichtlichen Vektoren die lin.
> u. Vektoren aus der Angabe?
Hallo,
ja klar, andere offensichtliche gibt's hier ja nicht.
Hast Du eigentlich schonmal ausgenutzt, daß [mm] a_1+a_2 [/mm] =1 ist.
Welche gestalt kannst Du A damit geben?
> Aber wie ziehe ich Vektoren von einer Menge ab?
Genauso, wie Du ihn zu einer Menge addierst. Schau nach, wie Ihr das deiniert habt.
Kannst du
> Der letzte Schritt ist mir dann glaube ich klar.
> Da muss nicht für das Ergebnis nur noch prüfen:
> 1) Der Untervektorraum darf nicht 0 sein.
> 2) Es muss die Addition
> 3) bzw. die Mulitplikation definiert sein.
???
Soll es hier um die Prüfung einer Menge [mm] U\subset [/mm] Vektorraum auf die Unterraumeigenschaft gehen?
Das stimmt so überhaupt nicht.
Schlag nochmal nach.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 So 14.12.2008 | | Autor: | trek |
> Hallo,
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> ja klar, andere offensichtliche gibt's hier ja nicht.
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> Hast Du eigentlich schonmal ausgenutzt, daß [mm]a_1+a_2[/mm] =1
> ist.
>
> Welche gestalt kannst Du A damit geben?
>
A= [mm] 0 * v_1 + 1 * v_2 [/mm]
oder [mm] 1 * v_1 + 0 * v_2 [/mm]
weil entweder [mm] a_1 od. a_2 [/mm] gleich 0 bzw gleich 1 sein muss damit [mm] a_1 + a_2 = 1 [/mm] erfüllt ist ???
> > Aber wie ziehe ich Vektoren von einer Menge ab?
>
> Genauso, wie Du ihn zu einer Menge addierst. Schau nach,
> wie Ihr das deiniert habt.
>
> Kannst du
>
> > Der letzte Schritt ist mir dann glaube ich klar.
> > Da muss nicht für das Ergebnis nur noch prüfen:
> > 1) Der Untervektorraum darf nicht 0 sein.
> > 2) Es muss die Addition
> > 3) bzw. die Mulitplikation definiert sein.
>
> ???
>
> Soll es hier um die Prüfung einer Menge [mm]U\subset[/mm] Vektorraum
> auf die Unterraumeigenschaft gehen?
> Das stimmt so überhaupt nicht.
So ist doch ein Unterraum definiert oder nicht?
Und weil SEcki gesagt hat, das man durch A - v = U bekommt, also den Unterraum und dann muss man diesen noch überprüfen.
>
> Schlag nochmal nach.
>
> Gruß v. Angela
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> > Hallo,
> >
> > ja klar, andere offensichtliche gibt's hier ja nicht.
> >
> > Hast Du eigentlich schonmal ausgenutzt, daß [mm]a_1+a_2[/mm] =1
> > ist.
> >
> > Welche gestalt kannst Du A damit geben?
> >
>
> A= [mm]0 * v_1 + 1 * v_2[/mm]
>
> oder [mm]1 * v_1 + 0 * v_2[/mm]
>
> weil entweder [mm]a_1 od. a_2[/mm] gleich 0 bzw gleich 1 sein
> muss damit [mm]a_1 + a_2 = 1[/mm] erfüllt ist ???
Hallo,
das ist ein ziemlicher Gogolores.
Für x+y=1 gibt's doch eine Menge Wertepaare, die es tun, oder?
Erinnere Dich an die Mittelstufe! Alle Punkte (x,y) mit y=1-x lösen die Gleichung.
> .
> > > Aber wie ziehe ich Vektoren von einer Menge ab?
> >
> > Genauso, wie Du ihn zu einer Menge addierst. Schau nach,
> > wie Ihr das deiniert habt.
> >
> > Kannst du
> >
> > > Der letzte Schritt ist mir dann glaube ich klar.
> > > Da muss nicht für das Ergebnis nur noch prüfen:
> > > 1) Der Untervektorraum darf nicht 0 sein.
> > > 2) Es muss die Addition
> > > 3) bzw. die Mulitplikation definiert sein.
> >
> > ???
> >
> > Soll es hier um die Prüfung einer Menge [mm]U\subset[/mm] Vektorraum
> > auf die Unterraumeigenschaft gehen?
> > Das stimmt so überhaupt nicht.
>
> So ist doch ein Unterraum definiert oder nicht?
> Und weil SEcki gesagt hat, das man durch A - v = U
> bekommt, also den Unterraum und dann muss man diesen noch
> überprüfen.
Nein, das sind eben nicht die Kriterien. Stehen die exakt so in Deinem Buch?
Es handelt sich um drei Kriterien, welche tatsächlich eine Ähnlichkeit mit Deinen aufweisen.
Es reicht aber nicht die grobe Ähnlichkeit, Du mußt das exakt wissen, wenn Du Aufgaben lösen willst.
Also schlag nach und vergleiche es mit dem, was Du schreibst.
Wenn Dir die Unterschiede nicht klar sind, können wir das gerne anhand der beiden Varianten diskutieren.
Gruß v. Angela
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> > Schlag nochmal nach.
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> > Gruß v. Angela
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