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Forum "Analysis des R1" - äußerer Einheitsnormalenvektor
äußerer Einheitsnormalenvektor < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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äußerer Einheitsnormalenvektor: Verständnis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:37 Mi 07.08.2013
Autor: sick_of_math

Aufgabe
Hallo, wenn ich den Einheitskreis im Zweidimensionalen habe und dann für die Randpunkte die äußeren Einheitsnormalenvektoren bestimmen soll, was sind die?

Meint man dann den Verbindungsvektor vom Randpunkt $(x,y)$ zum Punkt $(x+1,y+1)$ also $(1,1)$ oder was Anderes?

Oder ist der Normalenvektor $(x+1,y+1)$?

        
Bezug
äußerer Einheitsnormalenvektor: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:01 Mi 07.08.2013
Autor: fred97


> Hallo, wenn ich den Einheitskreis im Zweidimensionalen habe
> und dann für die Randpunkte die äußeren
> Einheitsnormalenvektoren bestimmen soll, was sind die?
>  
> Meint man dann den Verbindungsvektor vom Randpunkt [mm](x,y)[/mm]
> zum Punkt [mm](x+1,y+1)[/mm] also [mm](1,1)[/mm]


Wie kommst Du darauf ???

>  oder was Anderes?

Ja


>  Oder ist der Normalenvektor [mm](x+1,y+1)[/mm]?

Nein.

Sei [mm] K:=\{(x,y) \in \IR^2:x^2+y^2=1\}. [/mm] Male das mal.

Nun nehmen wir uns eine Punkt [mm] (x_0,y_0) \in [/mm] K her.

Betrachte die Gerade durch (0,0) und  [mm] (x_0,y_0). [/mm]

Skizze !

Stelle die Parameterform dieser Geraden auf mit einem Richtungsvektor [mm] \vec{n} [/mm] der Länge 1 .

Überzeuge Dich davon., dass es zwei Möglichkeiten gibt:

   [mm] \vec{n}=\vektor{x_0 \\ y_0} [/mm]  oder [mm] \vec{n}=-\vektor{x_0 \\ y_0} [/mm]

Der gesuchte äußere Einheitsnormalenvektor in  [mm] (x_0,y_0) [/mm] ist dann wohl was ?

FRED

Bezug
                
Bezug
äußerer Einheitsnormalenvektor: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:07 Mi 07.08.2013
Autor: sick_of_math

Sorry, da hatte ich nicht nachgedacht.

Also wenn man einen Randpunkt $(x,y)$ hat, dann ist hiervon der äußere Einheitsnormalenvektor der Verbindungsvektor von $(x,y)$ nach $(2x,2y$, also $(x,y)$.

Jetzt richtig?

Bezug
                        
Bezug
äußerer Einheitsnormalenvektor: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:11 Mi 07.08.2013
Autor: fred97


> Sorry, da hatte ich nicht nachgedacht.
>  
> Also wenn man einen Randpunkt [mm](x,y)[/mm] hat, dann ist hiervon
> der äußere Einheitsnormalenvektor der Verbindungsvektor
> von [mm](x,y)[/mm] nach [mm](2x,2y[/mm], also [mm](x,y)[/mm].
>  
> Jetzt richtig?

Ja

FRED


Bezug
                                
Bezug
äußerer Einheitsnormalenvektor: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:16 Mi 07.08.2013
Autor: sick_of_math

Dann habe ich mal noch ein Beispiel, um zu sehen, ob ich das mit dem äußeren Einheitsnormalenfeld jetzt kapiert habe :3

also wenn ich folgende Menge habe

[mm] $\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x^2+y^2\leq 1,0\leq z\leq 1\right\}$, [/mm] so ist das ja ein Zylinder im [mm] $\mathbb{R}^3$. [/mm] Wenn ich jetzt das äußere Einheitsnormalenfeld  $n$ von dem Rand von dieser Menge bestimmen soll, so würd ich das aufsplitten:

1.) "Deckel" des Zylinders:

Da ist das gegeben durch [mm] $n((x,y,z))=e_3=(0,0,1)$. [/mm]

2.) "Boden" des Zylinders:

[mm] $n((x,y,z))=-e_3$ [/mm]

3.) Der Rest:

$n((x,y,z))=(x,y,0)$


Richtig?

Bezug
                                        
Bezug
äußerer Einheitsnormalenvektor: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:32 Mi 07.08.2013
Autor: fred97


> Dann habe ich mal noch ein Beispiel, um zu sehen, ob ich
> das mit dem äußeren Einheitsnormalenfeld jetzt kapiert
> habe :3
>  
> also wenn ich folgende Menge habe
>  
> [mm]\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x^2+y^2\leq 1,0\leq z\leq 1\right\}[/mm],
> so ist das ja ein Zylinder im [mm]\mathbb{R}^3[/mm]. Wenn ich jetzt
> das äußere Einheitsnormalenfeld  [mm]n[/mm] von dem Rand von
> dieser Menge bestimmen soll, so würd ich das aufsplitten:
>  
> 1.) "Deckel" des Zylinders:
>  
> Da ist das gegeben durch [mm]n((x,y,z))=e_3=(0,0,1)[/mm].
>  
> 2.) "Boden" des Zylinders:
>  
> [mm]n((x,y,z))=-e_3[/mm]
>  
> 3.) Der Rest:
>  
> [mm]n((x,y,z))=(x,y,0)[/mm]
>  
>
> Richtig?


Na, ja...

Schwierigkeiten gibts in Punkten die auf der Mantelfläche und auf dem Deckel liegen (ebenso in gemeinsamen Punkten der Mantelfläche und des Bodens)

FRED

Bezug
                                                
Bezug
äußerer Einheitsnormalenvektor: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:36 Mi 07.08.2013
Autor: sick_of_math

Ja, stimmt. Aber es geht hier um eine Aufgabe, die damit zu tun hat, die Oberfläche des Zylinders mit dem Integralsazu von Gauß auszurechnen und ich glaube, dass dann diese problematischen Punkte keine Rolle spielen, weil sie ja keine Fläche darstellen.


Ich stelle am besten die Aufgabe in einer Extra-Frage.

Bezug
                                                        
Bezug
äußerer Einheitsnormalenvektor: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:40 Mi 07.08.2013
Autor: fred97


> Ja, stimmt. Aber es geht hier um eine Aufgabe, die damit zu
> tun hat, die Oberfläche des Zylinders mit dem Integralsazu
> von Gauß auszurechnen und ich glaube, dass dann diese
> problematischen Punkte keine Rolle spielen, weil sie ja
> keine Fläche darstellen.

Die problematischen Punkte bilden eine Nullmenge !

FRED

>  
>
> Ich stelle am besten die Aufgabe in einer Extra-Frage.


Bezug
        
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äußerer Einheitsnormalenvektor: Korrektur
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:01 Mi 07.08.2013
Autor: sick_of_math

Also ich meinte, ob das der Verbindungsvektor von $(x,y)$ zu $(2x,2y)$ ist, also $(x,y)$.

Bezug
                
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äußerer Einheitsnormalenvektor: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:17 Mi 07.08.2013
Autor: Diophant

Hallo,

> Also ich meinte, ob das der Verbindungsvektor von [mm](x,y)[/mm] zu
> [mm](2x,2y)[/mm] ist, also [mm](x,y)[/mm].

Das hat dir FRED doch schon längst bestätigt. Den gesuchten Vektor kannst du dir so veranschaulichen, dass der Radiusvektor vom Ursprung zu einem beliebigen Punkt P auf dem Kreis so verschoben wird, dass er in P beginnt. Dann zeigt er tatsächlich von (x,y) nach (2x,2y).

Gruß, Diophant

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