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| Aufgabe | Sei $f:A [mm] \rightarrow [/mm] B$ eine surjektive Funktion. Für $x, y [mm] \in [/mm] A$ definieren wir $x [mm] \sim [/mm] y [mm] :\leftrightarrow f(x) = f(y)$.
a)Zeigen Sie, dass $\sim$ eine Äquiv.-relation ist.
b)Sei $\hat{f}:A/_\sim \rightarrow [/mm] B$, [mm] $[a]_\sim \mapsto [/mm] f(a)$.
Zeigen Sie, dass [mm] $\hat{f}$ [/mm] wohldefiniert und bijektiv ist. |
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
Hi,
Um bei a) zu zeigen, dass ~ eine Äquivalenzrelation ist, muss man ja zeigen, dass sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
Also muss gelten:
[mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A: f(x)=f(x)$ (reflexivität)
[mm] $\forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] A: f(x)=f(y) [mm] \rightarrow [/mm] f(y) = f(x)$ (symmetrie)
[mm] $\forall [/mm] x,y,z [mm] \in [/mm] A: f(x)=f(y) [mm] \land [/mm] f(y)=f(z) [mm] \rightarrow [/mm] f(x)=f(z)$ (transitivität)
Das alles gilt doch offensichtlich? Muss man hier noch weiter argumentieren oder reicht es schon, das einfach so hinzuschreiben?
Bei b) habe ich Probleme zu verstehen, wie ich mir veranschaulichen kann, was [mm] $\hat{f}$ [/mm] macht und wie ich an die Aufgabe rangehen soll.
Würde man [mm] $\hat{f}$ [/mm] in natürlicher Sprache so formulieren: [mm] $\hat{f}$ [/mm] ist eine Funktion, die jeder Äquivalenzklasse [mm] $[a]_\sim$ [/mm] aus der Menge der Äquivalenzklassen [mm] $A/_\sim$ [/mm] aus A den Funktionswert $f(a)$ aus der Menge B zuordnet?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:03 Do 08.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]f:A \rightarrow B[/mm] eine surjektive Funktion. Für [mm]x, y \in A[/mm]
> definieren wir [mm]x \sim y :\leftrightarrow f(x) = f(y)[/mm].
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> a)Zeigen Sie, dass [mm]\sim[/mm] eine Äquiv.-relation ist.
> b)Sei [mm]\hat{f}:A/_\sim \rightarrow B[/mm], [mm][a]_\sim \mapsto f(a)[/mm].
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> Zeigen Sie, dass [mm]\hat{f}[/mm] wohldefiniert und bijektiv ist.
> (Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.)
>
> Hi,
> Um bei a) zu zeigen, dass ~ eine Äquivalenzrelation ist,
> muss man ja zeigen, dass sie reflexiv, symmetrisch und
> transitiv ist.
>
> Also muss gelten:
> [mm]\forall x \in A: f(x)=f(x)[/mm] (reflexivität)
> [mm]\forall x,y \in A: f(x)=f(y) \rightarrow f(y) = f(x)[/mm]
> (symmetrie)
> [mm]\forall x,y,z \in A: f(x)=f(y) \land f(y)=f(z) \rightarrow f(x)=f(z)[/mm]
> (transitivität)
>
> Das alles gilt doch offensichtlich? Muss man hier noch
> weiter argumentieren oder reicht es schon, das einfach so
> hinzuschreiben?
Mir würde das reichen.
>
> Bei b) habe ich Probleme zu verstehen, wie ich mir
> veranschaulichen kann, was [mm]\hat{f}[/mm] macht und wie ich an die
> Aufgabe rangehen soll.
> Würde man [mm]\hat{f}[/mm] in natürlicher Sprache so formulieren:
> [mm]\hat{f}[/mm] ist eine Funktion, die jeder Äquivalenzklasse
> [mm][a]_\sim[/mm] aus der Menge der Äquivalenzklassen [mm]A/_\sim[/mm] aus A
> den Funktionswert [mm]f(a)[/mm] aus der Menge B zuordnet?
Genau.
Wohldefiniert bedeutet: ist b [mm] \in[/mm] [mm][a]_\sim[/mm], also [mm][b]_\sim[/mm]=[mm][a]_\sim[/mm], so ist [mm] \hat{f}(b)=\hat{f}(a)
[/mm]
Zeige das (und die Surjektivität von [mm] \hat{f} [/mm] )
FRED
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