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| Aufgabe | Es sei M eine endliche Menge, dann hei?t eine Folge f [mm] \in M^\IN [/mm] periodisch, falls ein k [mm] \in \IN
[/mm]
und ein n0 [mm] \in \IN [/mm] existieren mit f(n + k) = f(n) für alle n [mm] \ge [/mm] n0. Das kleinste k heißt die
Periodenlänge, das kleinste n0 die Länge der Vorperiode. Sei nun [mm] \alpha \in M^M [/mm] eine Abbildung.
1. Zeige: Die Folge (n [mm] \mapsto \alpha^n) \in (M^M)^\IN [/mm] ist periodisch.
Hinweis: Zeige zuerst: Es existiert ein n0 [mm] \in \IN, [/mm] mit [mm] \alpha^n0(M) [/mm] = [mm] \alpha^n0+l(M) [/mm] für alle l [mm] \in \IN.
[/mm]
2. Bestimme die maximale Periodenlänge für M [mm] \in [/mm] {5; 6; 7}.
Welche Phänomene
sorgen für die Periode und welche für die Vorperiode?
3. Definiere auf [mm] {1,...,n}^{1,...,n}die [/mm] Äquivalenzrelationen: [mm] \alpha \sim [/mm] p [mm] \beta [/mm] genau dann, wenn die Folgen
(k [mm] \to \alpha^k) \in ({1,..,n}^{1,..,n})^\IN [/mm] und (k [mm] \to \beta^k) \in ({1,..,n}^{1,...n})^\IN [/mm] diesselbe Periodenlänge haben und [mm] \alpha \sim [/mm] p [mm] \beta
[/mm]
genau dann, wenn ein [mm] \nu \in [/mm] Sn existiert mit [mm] \nu \circ \alpha \circ \nu [/mm] ^-1 = [mm] \beta [/mm] . Zeige: [mm] \alpha \sim [/mm] a [mm] \beta [/mm] impliziert
[mm] \alpha \sim [/mm] p [mm] \beta. [/mm] Was ist mit der Umkehrung? |
Hallo
Wie bestimme ich oder finde ich heraus, dass Folgen periodisch sind?
Und wie soll ich die Äquivalenzrelation bei 3. definieren.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:09 Mi 23.11.2011 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Es sei M eine endliche Menge, dann hei?t eine Folge f [mm]\in M^\IN[/mm]
> periodisch, falls ein k [mm]\in \IN[/mm]
> und ein n0 [mm]\in \IN[/mm]
> existieren mit f(n + k) = f(n) für alle n [mm]\ge[/mm] n0. Das
> kleinste k heißt die
> Periodenlänge, das kleinste n0 die Länge der Vorperiode.
> Sei nun [mm]\alpha \in M^M[/mm] eine Abbildung.
> 1. Zeige: Die Folge (n [mm]\mapsto \alpha^n) \in (M^M)^\IN[/mm] ist
> periodisch.
> Hinweis: Zeige zuerst: Es existiert ein n0 [mm]\in \IN,[/mm] mit
> [mm]\alpha^n0(M)[/mm] = [mm]\alpha^n0+l(M)[/mm] für alle l [mm]\in \IN.[/mm]
> 2.
> Bestimme die maximale Periodenlänge für M [mm]\in[/mm] {5; 6; 7}.
> Welche Phänomene
> sorgen für die Periode und welche für die Vorperiode?
> 3. Definiere auf [mm]{1,...,n}^{1,...,n}die[/mm]
> Äquivalenzrelationen: [mm]\alpha \sim[/mm] p [mm]\beta[/mm] genau dann, wenn
> die Folgen
> (k [mm]\to \alpha^k) \in ({1,..,n}^{1,..,n})^\IN[/mm] und (k [mm]\to \beta^k) \in ({1,..,n}^{1,...n})^\IN[/mm]
> diesselbe Periodenlänge haben und [mm]\alpha \sim[/mm] p [mm]\beta[/mm]
> genau dann, wenn ein [mm]\nu \in[/mm] Sn existiert mit [mm]\nu \circ \alpha \circ \nu[/mm]
> ^-1 = [mm]\beta[/mm] . Zeige: [mm]\alpha \sim[/mm] a [mm]\beta[/mm] impliziert
> [mm]\alpha \sim[/mm] p [mm]\beta.[/mm] Was ist mit der Umkehrung?
> Wie bestimme ich oder finde ich heraus, dass Folgen
> periodisch sind?
Naja, indem du die in der Aufgabenstellung gegebene Definition nachprüfst. Vielleicht verschaffst du dir zunächst ein einfaches Beispiel mit einer besonders kleinen Menge M. Oder ein Gegenbeispiel? Oder beides?
Damit das mit der Vorperiode vernünftig ist, müßte die 0 eine natürliche Zahl sein. Ist sie das bei euch?
> Und wie soll ich die Äquivalenzrelation bei 3.
> definieren.
Die ist schon definiert, es sind sogar 2 definiert. Du sollst eine Implikation nachweisen.
Diese Antwort mag dir unbefriedigend oder sogar besch??ert vorkommen, aber von deiner Seite fehlt noch jede Eigenleistung. Du müßtest doch aus der Schule noch etwas über periodische Brüche wissen, oder über Sinus und Cosinus, die sind periodisch.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Ne die Antwort reicht mir erstmal völlig aus, da ich gar keine Ahnung hatte wie ich an die Aufgabe ran gehe, deshalb kommt von mir auch noch keine Eigenleistung.
Die 0 gehört bei uns nur zu den natürlichen Zahlen wenn es extra angegeben ist durch [mm] \IN [/mm] 0
D.h. also für den 3. Punkt dass ich nur die Implikation zeigen muss und erklären muss was mit der Umkehrung ist also ob eine Äquivalenz besteht?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Fr 25.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Fr 25.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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