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| Aufgabe | Auf NxN wird durch
(a,b)~(c,d) <-> a+d=b+c
eine Äquivalenzrelation definiert. Beweisen Sie die Aussage. |
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Hallo, da ich bei solchen Aufgaben eingie Probleme habe, wollte ich meine Lösung und Begründung mal nachprüfen lassen.
Ich prüfe auf Reflexivität, Symmetrie und Transitivität
reflexiv:
(a,a)eR
Bei reflexiviät invertiere ich normalerweise die Operation, also:
a+d=d+a
da die Addition kommutativ ist, ist die Relation reflexiv
symmetrisch:
(a,b) eR->(b,a) eR
bei einer Gleichung kann ich die Seiten vertauschen:
a+d=b+c -> b+c=a+d
da es sich um eine Gleichung handelt, symmetrisch
transitiv:
(a,b) (c,d) eR und (c,d) (e,f) eR -> (a,b) (e,f) eR
a+d = b+c und c+f = d+e
c und d sind zwar auf beiden Seiten gleich, e und f muss aber nicht gleich a und b sein.
nicht transitiv und damit keine Äquivalenzrelation
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Hallo!
Reflexiv und Symmetrisch ist sie, das hast du recht.
Bei der Transitivität aber vorsicht! Die Relation ist transitiv, es gilt ja
I) (a,b)R(c,d) => a+d=b+c
II) (c,d)R(e,f) => c+f=d+e
z.z.: (a,b)R(e,f) (a+f=b+e)
a+f=b+e /Addition von d auf beiden Seiten
a+d+f=b+d+e
aus I) folgt: b+c+f=b+d+e
und aus II) folgt: b+c+f=b+c+f
und das ist eine wahre Aussage
Mfg
Michael
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