Äquivalenzrelation, oder nicht < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Der Index der Relation
x [mm] \sim [/mm] y [mm] \gdw (\forall [/mm] w,w' [mm] \in \Sigma^{\ast} [/mm] : wxw' [mm] \in [/mm] L [mm] \gdw [/mm] wyw' [mm] \in [/mm] L)
ist endlich. |
Kann ich einfach folgendes folgern?
da wxw' [mm] \in [/mm] L [mm] \gdw [/mm] wyw' [mm] \in [/mm] L gilt x [mm] \sim [/mm] y ist symmetrisch.
kann man das einfach so sagen?
und wenn das dann so ist, kann man sagen:
wxw' [mm] \in [/mm] L [mm] \gdw [/mm] wyw' [mm] \in [/mm] L [mm] \gdw [/mm] wzw' [mm] \in [/mm] L
[mm] \Rightarrow [/mm] wxw' [mm] \in [/mm] L [mm] \gdw [/mm] wzw' [mm] \in [/mm] L ??
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Hiho,
> da wxw' [mm]\in[/mm] L [mm]\gdw[/mm] wyw' [mm]\in[/mm] L gilt x [mm]\sim[/mm] y ist
> symmetrisch.
Ja, da mit [mm]wxw' \in L \gdw wyw' \in L[/mm] trivialerweise auch [mm]wyw' \in L \gdw wxw' \in L[/mm] gilt und damit y ~ x.
> und wenn das dann so ist, kann man sagen:
>
> wxw' [mm]\in[/mm] L [mm]\gdw[/mm] wyw' [mm]\in[/mm] L [mm]\gdw[/mm] wzw' [mm]\in[/mm] L
> [mm]\Rightarrow[/mm] wxw' [mm]\in[/mm] L [mm]\gdw[/mm] wzw' [mm]\in[/mm] L ??
Jap, genau so ist es  Allerdings würd ichs halt echt in 3 Schritten machen:
x ~ y [mm]\Rightarrow (wxw' \in L \gdw wyw' \in L)[/mm](1)
y ~ z [mm]\Rightarrow (wyw' \in L \gdw wzw' \in L)[/mm](2)
[mm] (1)\wedge [/mm] (2) [mm]\Rightarrow (wxw' \in L \gdw wzw' \in L \Rightarrow)[/mm] x ~ z
Ist genau das, was du da auch stehen hast, sieht nur schöner aus.
MfG,
Gono.
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Aber da stellt sich mir doch die Frage:
Wenn das so wäre, würde doch aus Symmetrie immer gleich Transitivität folgen, oder?
Angenommen z = x.
Dann würde DARAUS auch noch folgen, dass x~x und dann wäre das ja gleich ne Äquivalenzrelation.
Wenn aber jetzt die Relation ~ BEISPIELSWEISE "ungleich" wäre, dann würde das doch alles nicht stimmen, oder?
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Hallo JROppenheimer!
> Wenn das so wäre, würde doch aus Symmetrie immer gleich
> Transitivität folgen, oder?
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> Angenommen z = x.
Hier liegt genau der Punkt. Es reicht nicht, dass es "für ein bestimmtes z transitiv ist" , sondern es muss für ein beliebiges z gelten bzw. für alle z.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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AAAH das war doch mal hilfreich, danke euch beiden ....
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