Äquivalenzrelation beweisen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:10 Do 01.11.2007 | | Autor: | Jun-Zhe |
| Aufgabe | Es sei m [mm] \in \IN. [/mm] Definieren Sie folgende Relation [mm] \sim [/mm] auf [mm] \IZ [/mm] durch:
[mm]x \sim y \gdw x-y \in m\IZ = \left\{ mz | z \in \IZ \right\}[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] \sim [/mm] eine Äquivalenzrelation auf [mm] \IZ [/mm] ist und bestimmen Sie die dazugehörigen Äquivalenzklassen. |
Also gut, damit eine Realtion äquivalent ist muss sie reflexiv, symmetrisch und transitiv sein. Bei Reflexivität habe ich mir bereits etwas überlegt, aber ich weiß leider nicht ob das so richtig ist...
(1) [mm]x \sim x \gdw x-x \in m\IZ ,[/mm] das heißt [mm] x-x=0 \in m\IZ [/mm]
[mm] \Rightarrow \sim [/mm] ist reflexiv
(2) zu zeigen: [mm]x \sim y \gdw y \sim x[/mm]
[mm] \gdw[/mm] [mm]x-y \in m\IZ \wedge y-x \in m\IZ[/mm]
Und wie kann ich jetzt zeigen, dass y-x in [mm] m\IZ [/mm] liegt? Wofür ist überhaupt dieses [mm] m\in \IN [/mm] gut? Stimmt das bisherige denn wenigstens? Wie kann ich außerdem die Transitivität beweisen?
Bei den Äquivalenzklassen könnt ihr mir vielleicht auch helfen, da ich die Definition davon leider nicht verstehe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Jun-Zhe,
> Es sei m [mm]\in \IN.[/mm] Definieren Sie folgende Relation [mm]\sim[/mm] auf
> [mm]\IZ[/mm] durch:
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> [mm]x \sim y \gdw x-y \in m\IZ = \left\{ mz | z \in \IZ \right\}[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass [mm]\sim[/mm] eine Äquivalenzrelation auf [mm]\IZ[/mm] ist
> und bestimmen Sie die dazugehörigen Äquivalenzklassen.
> Also gut, damit eine Realtion äquivalent ist muss sie
> reflexiv, symmetrisch und transitiv sein. Bei Reflexivität
> habe ich mir bereits etwas überlegt, aber ich weiß leider
> nicht ob das so richtig ist...
>
> (1) [mm]x \sim x \gdw x-x \in m\IZ ,[/mm] das heißt [mm]x-x=0 \in m\IZ[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") aber warum?
>
> [mm]\Rightarrow \sim[/mm] ist reflexiv
>
> (2) zu zeigen: [mm]x \sim y \gdw y \sim x[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] [mm]x-y \in m\IZ \wedge y-x \in m\IZ[/mm]
>
> Und wie kann ich jetzt zeigen, dass y-x in [mm]m\IZ[/mm] liegt?
Nun, du hast [mm] $x\sim [/mm] y$, also [mm] $x-y\in m\IZ$, [/mm] dh. es gibt ein [mm] $z\in\IZ$ [/mm] mit [mm] $x-y=m\cdot{}z$
[/mm]
Wenn [mm] $z\in \IZ$ [/mm] ist, so ist es $-z$ sicher auch, denn [mm] $(\IZ,+)$ [/mm] ist eine Gruppe
Also ist [mm] $m\cdot{}(-z)=-(m\cdot{}z)=-(x-y)=y-x\in m\IZ$
[/mm]
> Wofür ist überhaupt dieses [mm]m\in \IN[/mm] gut? Stimmt das
> bisherige denn wenigstens? Wie kann ich außerdem die
> Transitivität beweisen?
fast genauso, nimm dir [mm] $x\sim [/mm] y$ und [mm] $y\sim [/mm] z$ her, also existieren [mm] $z_1,z_2\in\IZ$ [/mm] mit [mm] $x-y=m\cdot{}z_1$ [/mm] und [mm] $y-z=m\cdot{}z_2$
[/mm]
Nun musst du daraus folgern, dass [mm] $x\sim [/mm] z$ ist, also dass [mm] $x-z\in m\IZ$
[/mm]
Also musst du zeigen, dass es ein [mm] $z'\in\IZ$ [/mm] gibt mit [mm] $x-z=m\cdot{}z'$
[/mm]
Setze dazu mal so an: [mm] $x-z=x\red{-y+y}-z=...$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 Do 01.11.2007 | | Autor: | berlin06 |
wie sieht es eigentlich mit den äquivalenzklassen aus?
könnte die vlt jemand bestimmen??
hab noch nich ganz verstanden was das heißt
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> wie sieht es eigentlich mit den äquivalenzklassen aus?
> könnte die vlt jemand bestimmen??
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Bestimmt könnte die wer bestimmen...
>
> hab noch nich ganz verstanden was das heißt
Zunächst mal wäre es wichtig, daß Du die Definiton der Äquivalenzklassen vorliegen hast bzw. vorlegst, damit wir wissen, worüber wir reden.
In der Äquivalenzklasse eines Elementes x bzgl. der Äquivalenzrelation [mm] \sim [/mm] befinden sich alle Elemene y, für welche gilt: [mm] x\sim [/mm] y.
Im vorliegenden Fall haben wir es mit
>>> $ x [mm] \sim [/mm] y [mm] \gdw [/mm] x-y [mm] \in m\IZ [/mm] = [mm] \left\{ mz | z \in \IZ \right\} [/mm] $
zu tun.
Du mußt also darüber nachdenken, wie man die y beschreiben kann, für welche für ein vorgegebenes x x [mm] \sim [/mm] y gilt.
Ich finde es ja immer hilfreich, sich konkrete Beispiele vorzunehmen.
Nehmen wir doch mal m=5 und x=2. Welche Elemente liegen dann in der Äquivalenzklasse von 2 bzgl. der Äquivalenzrelation?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Do 01.11.2007 | | Autor: | Jun-Zhe |
Danke für deine ausführliche Antwort, ich habe jetzt versucht die Transitivität zu zeigen.
Also für (3) folgt dann:
[mm]x \sim y \wedge y \sim x \Rightarrow x \sim z[/mm]
[mm]\gdw x-y\in m\IZ \sim \wedge y-z\in m\IZ \Rightarrow x-z\in m\IZ[/mm]
Seien [mm] z_1, z_2\in\IZ [/mm] mit [mm] x-y=m*z_1 [/mm] und [mm]y- z=m*z_2[/mm].
Zu zeigen: es existiert ein [mm] z'\in\IZ [/mm] mit [mm]x-z=m*z'[/mm]
[mm] x-z=(x-z)+(y-y)=(x-y)+(y-z)=m*z_1+m*z_2=m(z_1+z_2)
[/mm]
Da [mm] z_1,z_2\in \IZ \Rightarrow z_1+z_2=z' \in \IZ
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] ~ ist transitiv
Ich bin mir am schluss nicht ganz sicher, kann man so argumentieren?
Übrigens bin ich bei den Äquivalenzklassen auch noch etwas verwirrt, wie fängt man hier am besten an?
Achja und kann ich bei (1) einfach schreiben [mm] x-x=0\in\IZ, [/mm] weil [mm]x = x[/mm]?
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> Danke für deine ausführliche Antwort, ich habe jetzt
> versucht die Transitivität zu zeigen.
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> Also für (3) folgt dann:
>
> [mm]x \sim y \wedge y \sim x \Rightarrow x \sim z[/mm]
> [mm]\gdw x-y\in m\IZ \sim \wedge y-z\in m\IZ \Rightarrow x-z\in m\IZ[/mm]
>
> Seien [mm]z_1, z_2\in\IZ[/mm] mit [mm]x-y=m*z_1[/mm] und [mm]y- z=m*z_2[/mm].
>
> Zu zeigen: es existiert ein [mm]z'\in\IZ[/mm] mit [mm]x-z=m*z'[/mm]
>
> [mm]x-z=(x-z)+(y-y)=(x-y)+(y-z)=m*z_1+m*z_2=m(z_1+z_2)[/mm]
> Da [mm]z_1,z_2\in \IZ \Rightarrow z_1+z_2=z' \in \IZ[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] ~ ist transitiv
>
> Ich bin mir am schluss nicht ganz sicher, kann man so
> argumentieren?
Hallo,
ja, das ist so richtig.
> Übrigens bin ich bei den Äquivalenzklassen auch noch etwas
> verwirrt, wie fängt man hier am besten an?
s. mein vorhergehendes Post.
>
> Achja und kann ich bei (1) einfach schreiben [mm]x-x=0\in\IZ,[/mm]
> weil [mm]x = x[/mm]?
Schreib so [mm] x-x=0=0*m\M\IZ [/mm] ==> [mm] x\sim [/mm] x.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:25 Sa 03.11.2007 | | Autor: | toefte |
" Nehmen wir doch mal m=5 und x=2. Welche Elemente liegen dann in der Äquivalenzklasse von 2 bzgl. der Äquivalenzrelation?"
Ich hoffe mal .....,-8,-3,2,7,... . Nur weiß ich nun immer noch nicht, wie ich damit auf die Äquivalenzklassen kommen soll. Kannst du noch weitere Tipps geben? Oder gar die Lösung? Geht mir auch nicht darum Punkte für die Aufgabe zu bekommen, die mussten wir sowieso schon am ![[]](/images/popup.gif) Freitag abgeben, aber ich würds gern verstehen. Auf alle Fälle schonmal Danke für deine Mühe, angela.
lg
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> " Nehmen wir doch mal m=5 und x=2. Welche Elemente liegen
> dann in der Äquivalenzklasse von 2 bzgl. der
> Äquivalenzrelation?"
>
> Ich hoffe mal .....,-8,-3,2,7,... . Nur weiß ich nun immer
> noch nicht, wie ich damit auf die Äquivalenzklassen kommen
> soll.
Hallo,
ja, mit den Elementen liegst Du schon richtig.
Diese Äquivalenzklassen mod irgendwas heißen auch Restklassen - nicht ohne Grund:
schau Dir mal an, welche Reste 2,7,12,17 ..., -8, -3 bei der Division durch 5 lassen.
All diese Elemente von [mm] [2]_5 [/mm] kannst Du schreiben als 5k+... mit [mm] k\in \IZ.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:04 Sa 03.11.2007 | | Autor: | toefte |
> Hallo,
>
> ja, mit den Elementen liegst Du schon richtig.
>
> Diese Äquivalenzklassen mod irgendwas heißen auch
> Restklassen - nicht ohne Grund:
>
> schau Dir mal an, welche Reste 2,7,12,17 ..., -8, -3 bei
> der Division durch 5 lassen.
>
> All diese Elemente von [mm][2]_5[/mm] kannst Du schreiben als 5k+...
> mit [mm]k\in \IZ.[/mm]
>
> Gruß v. Angela
Und die Äquivalenzklassen sind dann [mm] [x]_{m} [/mm] ? Wobei dann ja [mm] [2]_{5} [/mm] und [mm] [7]_{5} [/mm] das gleiche wären? Obwohl, ich hab nochmal in meinen Unterlagen nachgeschaut, das dürfte so in Ordnung sein?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:07 So 04.11.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo toefte,
> Und die Äquivalenzklassen sind dann [mm][x]_{m}[/mm] ?
yes.
> Wobei dann ja
> [mm][2]_{5}[/mm] und [mm][7]_{5}[/mm] das gleiche wären?
genau so ist es.
Gruß
Will
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:36 So 04.11.2007 | | Autor: | toefte |
Dankeschön.
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