Äquivalenzrelation auf ZxN... < Relationen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Auf der Menge ZxN aller Paare ganzer Zahl mit positiver zweiten Komponente sei sein Relation ~ erklärt vermöge
(a,b)~(c,d) [mm] :\gdw [/mm] ad = bc.
a) Zeigen Sie daß ~ eine Äquivalenzrelation auf ZxN bildet.
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So also ich weiß was eine Äquivalenzrelation bedeutet, was erfühlt dazu sein muss.
Ich hab vom Prof die Lösung aber ich ein paar Schlussfolgerungen versteh ich nicht, bzw warum ich die machen darf, wo das im text steht.
die Lösung vom Prof
reflexiv
c=a // aus was kann ich das schlussfolgern das die gleiche seien müssen ?
d=b
ab=ba
ab=ab // kann ich machen weil für die normale Multiplikation das Kommunikativgesetzt gilt ?
Die Lösung geht weiter, aber den Rest versteh ich.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Auf der Menge ZxN aller Paare ganzer Zahl mit positiver
> zweiten Komponente sei sein Relation ~ erklärt vermöge
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> (a,b)~(c,d) [mm]:\gdw[/mm] ad = bc.
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> a) Zeigen Sie daß ~ eine Äquivalenzrelation auf ZxN
> bildet.
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> So also ich weiß was eine Äquivalenzrelation bedeutet, was
> erfühlt dazu sein muss.
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> Ich hab vom Prof die Lösung aber ich ein paar
> Schlussfolgerungen versteh ich nicht, bzw warum ich die
> machen darf, wo das im text steht.
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> die Lösung vom Prof
>
> reflexiv
>
> c=a // aus was kann ich das schlussfolgern das die
> gleiche seien müssen ?
> d=b
>
> ab=ba
>
> ab=ab // kann ich machen weil für die normale
> Multiplikation das Kommunikativgesetzt gilt ?
>
Hallo,
ja, da bist Du auf der richtigen Spur.
Du willst ja zeigen, daß (a,b) [mm] \sim [/mm] (a,b).
Nach Definition Deiner Relation ist das gleichbedeutend mit ab=ba,
und dies gilt, wie Du bereits richtig erkannt hast, aufgrund der Rechengesetze in den ganzen Zahlen.
Gruß v. Angela
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Hy Angela,
das (a,b)~(a,b) gleichbeudeutend wie ab=ab ist, weiß ich.
aber
Und ZxN ist doch das kartesische Produkt ?
die Relation lautet doch (a,b)~(c,d) $ [mm] :\gdw [/mm] $ ad = bc.
Und in dieser Relation sind doch a,b,c,d Elemente von ZxN ?
Und ich dachte das a,b,c,d unterschiedliche Zahlen sind ?
Oder gilt die Relation nur für die Zahlen die das erfühlen : ad = bc .
Und der Rest wird nicht beachtet ?
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Hallo TIB-Student!
> Und ZxN ist doch das kartesische Produkt ?
[mm] \IZ\times\IN [/mm] bedeutet hier nur, dass du als Elemente Tupel hast. Eben genau zwei "Zahlen", mit einem Komma verbunden in zwei runden Klammern: (a,b).
> die Relation lautet doch (a,b)~(c,d) [mm]:\gdw[/mm] ad = bc.
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> Und in dieser Relation sind doch a,b,c,d Elemente von ZxN
> ?
Nein, (a,b) ist ein Element von [mm] \IZ\times\IN, [/mm] denn [mm] a\in\IZ [/mm] und [mm] b\in\IN.
[/mm]
Nun bedeutet die Reflexivität eben genau (a,b)~(a,b), wobei hier natürlich [mm] (a,b)\in\IZ\times\IN. [/mm] Und das ist dann nach Definition der Relation genau dann der Fall, wenn ab=ba, und das gilt, wie du ja schon festgestellt hast. 
> Und ich dachte das a,b,c,d unterschiedliche Zahlen sind ?
> Oder gilt die Relation nur für die Zahlen die das erfühlen
> : ad = bc .
> Und der Rest wird nicht beachtet ?
Hat sich das jetzt geklärt, oder sind immer noch Fragen offen? Und bist du sicher, dass du den Rest richtig verstanden hast?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hy
ah also die Relation lautet (a,b)~(c,d) $ [mm] :\gdw [/mm] $ ad = bc
Und weil nur mal die Relation bedeutet "ad = bc" und alle Tuppel, die dies nicht erfühlen werden gar nicht beachtet.
Jetzt wirds mir klar !
Und jetzt ist mir auch klar wie ich die Reflexivität und so nachweißen muss .
Danke
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