Äquivalenzrelation auf Gruppe < Relationen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:52 Sa 31.10.2009 | | Autor: | Teufel |
| Aufgabe | Sei $(G,*)$ eine Gruppe.
Zeige, dass [mm] $x\sim y:\gdw x=a*y*a^{-1}$ [/mm] für ein $a [mm] \in [/mm] G$ eine Äquivalenzrelation auf G ist
($*$ ist nicht die übliche Multiplikation, $x,y [mm] \in [/mm] G$). |
Hi!
Wenn (G,*) abelsch ist, ist das ja kein Problem, aber für eine allgemeine Gruppe kann ich hier nicht einmal die Reflexivität vernünftig zeigen.
[mm] x=a*x*a^{-1} [/mm] muss ich ja dazu zeigen. Aber egal, wie ich x und a herumschiebe, ich komme zu keiner offensichtlich wahren Aussage.
Wenn ich rechts mit a multipliziere und links mit [mm] a^{-1}, [/mm] dann komme ich auch nur auf [mm] a^{-1}*x*a=x.
[/mm]
Ansonsten habe ich auch noch [mm] x*x=a*x*a^{-1}*a*x*a^{-1}=a*x*x*a^{-1} [/mm] betrachtet, aber das hilft mir auch nicht.
Weiß jemand, wie ich die Reflexivität hier zeigen kann?
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:08 Sa 31.10.2009 | | Autor: | pelzig |
Also erstens soll das wahrscheinlich heißen [mm] $x\sim y\gdw x=aya^{-1}$ [/mm] für ein [mm] $a\in [/mm] G$. Zweitens ist [mm] $x\sim [/mm] x$ für alle x, denn [mm] $x=1\cdot x\cdot1^{-1}$.
[/mm]
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:12 Sa 31.10.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ja, hast natürlich Recht mit dem y, hab's geändert. Und kann man aus dem Aufgabentext wirklich lesen, dass das nur für ein bestimmtes a [mm] \in [/mm] G gelten muss? Für mich klingt das eher so, dass das ein beliebiges a sein muss.
Edit: Ok, jetzt wo ich nochmals drüber nachdenke, ergibt das auch Sinn. Das soll wohl wirklich nur für (mindestens) ein a gelten, damit das eine Äquivalenzrelation ist.
Dann müssen Symmetrie und Transitivität für das gleiche a auch gelten (was ja offensichtlich wohl gilt, da "=" eine Äquivalenzrelation ist.
Hätte wohl die Aufgabe besser lesen sollen. Danke!
Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Fr 20.11.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Laut Korrekteur ist die Lösung leider falsch.
Aber ich weiß auch immer noch nicht, wie es denn richtig sein soll.
Weiß da jemand Rat?
Hat der Korrekteur einfach nur Unrecht (passiert ja auch mal) oder gibt es wirklich eine Lösung für jedes feste a [mm] \in [/mm] G?
Teufel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:43 Sa 21.11.2009 | | Autor: | pelzig |
Wenn die Relation definiert wäre als [mm] $$x\sim y:\gdw\forall a\in [/mm] G: [mm] x=aya^{-1}$$ [/mm] dann wäre diese Relation genau dann reflexiv, wenn jedes Element mit allen Elementen kommutieren würde, d.h. wenn G abelsch wäre.
Die Aussage "laut Korrekteur ist die Lösung leider falsch" finde ich auch ein bischen seltsam. 1) Welche Lösung? 2) Auf welche Frage? 3) Warum fragst du den Korrektor nicht einfach selbst?
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 04:03 Sa 21.11.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Geht noch um die Ursprungsfrage! Und ich habe die Lösung mit dem a=1 hingeschrieben. Da steht aber, dass das eben nicht stimmt.
Zum Korrekteur werde ich wohl auch noch gehen, aber erst nächste Woche.
Teufel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:05 Sa 21.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Geht noch um die Ursprungsfrage! Und ich habe die Lösung
> mit dem a=1 hingeschrieben. Da steht aber, dass das eben
> nicht stimmt.
Ich vermute mal, der Korrektur irrt. Denn mit festem $a$ ist die Aufgabenstellung nicht ganz korrekt: dann gilt [mm] $\forall [/mm] g [mm] \in [/mm] G : g [mm] \sim [/mm] g$ nur dann, wenn [mm] $\forall [/mm] g [mm] \in [/mm] G : g = a g [mm] a^{-1}$ [/mm] ist, also [mm] $\forall [/mm] g [mm] \in [/mm] G : g a = a g$. Und das ist dazu aequivalent, dass $g$ im Zentrum von $G$ ist.
Aber wenn $a [mm] \in [/mm] Z(G)$ ist, dann ist $x [mm] \sim [/mm] y [mm] \Leftrightarrow [/mm] x = y$, was eine ziemlich langweilige Aequivalenzrelation ist.
LG Felix
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