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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:16 Sa 13.11.2010 | | Autor: | dfx |
| Aufgabe 1 | a) Es seien [mm] $A:=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ [/mm] und
[mm] $R:=\{(2,5),(x,6),(3,3),(7,6),(5,2),(4,4),(7,1),(6,7),(6,1),(1,7),(2,2),(6,6),(y,z),(1,1),(7,7)\}$.
[/mm]
Bestimmen Sie für $x$,$y$ und $z$ die Werte aus $A$, so daß $R$ eine Äquivalenzrelation auf $A$ ist, und geben sie die zugehörige Partition von $A$ an. |
| Aufgabe 2 | b) Geben Sie für die folgenden Partionen von [mm] \IR [/mm] die zugehörigen Äquivalenzrelation [mm] \sim_1 [/mm] , [mm] \sim_2 [/mm] an:
[mm] $P_1 [/mm] := [mm] \{ \{ y+x|x \in \IR \wedge 0\le x<1\}|y\in\IZ\}$
[/mm]
[mm] $P_2 [/mm] := [mm] \{\{y+x|y \in \IZ \}| x\in\IR \wedge 0\le x<1\}$ [/mm] |
Hallo,
meine Gedanken zur ersten Aufgabe sehen geschmiert etwa so aus:
[mm] R_{refl.} [/mm] = [mm] \{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(6,6),(7,7)\}
[/mm]
Jedes Element aus der Grundmenge A, was in R vorkommt und in der Form (a,a) enthalten ist.
[mm] R_{symm.} [/mm] = [mm] \{(2,5),(5,2),(7,6),(6,7),(1,7),(7,1),(6,1),(x,6)\}
[/mm]
Hier wäre x=1 zwecks Symmetrie passend meiner Ansicht nach. Damit wäre auch das erfüllt. Ich habe zu jedem Element ein symmetrisches Gegenstück gesucht. Bleibt nur noch das (y,z) Element.
Nun die Betrachtung im Sinne der Transitivität, wobei ich dafür schlicht geschaut habe, welche Elemente aus A 2-mal an erster Stelle vorkommen:
1 bei (1,1) und (1,7) und (x,6)
2 bei (2,2) und (2,5)
3 bei (3,3)
4 bei (4,4)
5 bei (5,2) und (y,z)
6 bei (6,6) und (6,1) und (6,7)
7 bei (7,7) und (7,6) und (7,1)
Dann noch welche 2-mal an zweiter Stelle auftreten:
1 bei (7,1) und (6,1) und (1,1)
2 bei (5,2) und (2,2)
3 bei (3,3)
4 bei (4,4)
5 bei (2,5) und (y,z)
6 bei (x,6) und (6,6) und (7,6)
7 bei (6,7) und (1,7) und (7,7)
So, jetzt komm ich ganzschön ins Grübeln. Die Partition müsste so lauten:
$P = [mm] \{\{2,5\},\{3,4\},\{1,6,7\}\}$
[/mm]
Allerdings ist das mehr geraten, als gewusst wie. Meine Frage wäre nun, wo liegen meine Fehler oder wie könnte ich meine Unsicherheit ausmerzen? Ein paar andere Worte für meine Ratesprache wären ganz gut. Also im Sinne eines konstruktiven Gesprächs.
Zur b) komm ich erst zu sprechen, wenn es überhaupt jemanden interessiert. ;)
gruss, dfx
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:36 So 14.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
Deine Lösung ist doch so ziemlich in Ordnung.
Natürlich muss (5,5) in R sein wegen der Reflexivität, das hast du ja weiter unten auch so benutzt, also muss dies das (y,z) sein und x=1 hast du ja aus der Symmetrie richtig gefolgert.
3 und 4 liegen aber nicht in derselben Äquivalenzklasse, sondern jeder für sich in einer eigenen, denn (3,4) gehört ja nicht zu R.
Mit dem Aufstellen der Partition ist die Transitivität automatisch erledigt.
Gruß Sax.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:35 So 14.11.2010 | | Autor: | dfx |
Hallo,
und Danke erstmal für deine Antwort. Ich bin ja am Anfang ehrlich gesagt davon ausgegangen, dass $y$ und $z$ verschieden voneinander sein müssten. Es erscheint mir dann doch zu einfach, dass sie sich als Bedingung für die Reflexivität zu (5,5) mausern, während sich das $x$ als Bedingung für die Symmetrie im Falle von $(6,1),(x,6)$ ergibt.
Die Partition ergab sich für mich einfach aus der Betrachtung, die ich mit der Transitivität begonnen hatte. Dabei habe ich mit [mm] $P_{\sim}=\{1,6,7\}$ [/mm] nun begonnen, da für sie in der Relation alle drei Eigenschaften einer Äquivalenzrelation erfüllt sind. Dann habe ich ${2,5}$ für nur die erhalten, die zwei Eigenschaften, also Reflexivität und Symmetrie erfüllen, und letztendlich, wo nur eine Eigenschaft vorliegt, was bei ${3,4}$ der Fall war. Daraus ergab sich dann die Mengenfamilie [mm] $P=\{\{1,6,7\},\{2,5\},\{3,4\}\}$.
[/mm]
Damit R eine Äquivalenzrelation ist, sollten nun alle drei Eigenschaften für R erfüllt sein. Dabei hilft die Regel, wenn ich das richtig verstanden habe: "Wenn man die Voraussetzung nicht ansetzen kann, dann ist es immer wahr." Somit müssen für {3,4} nicht unbedingt (3,4),(4,3) enthalten sein um zusätzlich noch die Symmetrie zu erfüllen. Wenn eines verhanden wäre, dann wäre R keine Äquivalenzrelation. Das verhält sich bei allen so, die weniger gleich 2-mal an erster Stelle und zweiter Stelle auftreten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Di 16.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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