Äquivalenzrelation Funktion < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:01 Fr 07.01.2011 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | Sei ~ eine Äquivalenzrelation auf [mm] \IN \times \IN [/mm] definiert durch:
[mm]\forall ( n_1 , m_1 ) , ( n_2 , m_2 ) \in \IN \times \IN[/mm] : [mm] ( n_1 , m_1 ) \sim ( n_2 , m_2 ) \gdw n_1 + m_2 = n_2 + m_1 [/mm].
Sei [mm] \IZ = ( \IN \times \IN ) / \sim [/mm].
Sei
[mm] \alpha_{\IZ} : \IZ \times \IZ \to \IZ[/mm] , [mm] ( [ n_1 , m_1 ]_\sim ,[ n_2 , m_2 ]_\sim ) \mapsto [ n_1 + n_2 , m_1 + m_2 ]_\sim [/mm]
und
[mm] \mu_{\IZ}: \IZ \times \IZ \to \IZ[/mm] , [mm] ( [ n_1 , m_1 ]_\sim ,[ n_2 , m_2 ]_\sim ) \mapsto [ n_1 n_2 + m_1 m_2 , n_1 m_2 + m_1 n_2 ]_\sim [/mm].
Zeigen Sie, dass die Abbildungen [mm] \alpha_{\IZ}[/mm] und [mm] \mu_{\IZ}[/mm] wohldefiniert sind, d.h. dass die Addition und die Multiplikation an den ganzen Zahlen wohldefiniert sind. |
Hier komm ich leider garnicht klar.
irgendwie zu viele [mm] \times [/mm] und [mm] \sim [/mm].
Kann das sein, dass ich z.B. bei [mm] \alpha_{\IZ}[/mm] zeigen muss, dass
[mm]( [x_1 , y_1 ]_\sim , [x_2 , y_2 ]_\sim ) \sim ( [a_1 , b_1 ]_\sim , [a_2 , b_2 ]_\sim ) [/mm] [mm] \Rightarrow [/mm] [mm] [ x_1 +x_2 , y_1 + y_2 ]_\sim = [ a_1 +a_2 , b_1 + b_2 ]_\sim [/mm] ???????
Das wäre meine analoge Übertragung einer anderen Aufgabe.
Stimmt das?
|
|
| |
|
ella, ja das stimmt!
Hochachtungsvoll, P. G. L. Dirichlet
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Fr 07.01.2011 | | Autor: | ella87 |
 und was heißt
[mm] ( [x_1 , y_1 ]_\sim , [x_2 , y_2 ]_\sim ) \sim ( [a_1 , b_1 ]_\sim , [a_2 , b_2 ]_\sim ) [/mm] ?
Ich meine damit kann ich ja nicht einfach rumrechnen.....
Ich habs trotzdem mal gemacht, aber ich komme so jedenfalls nicht zum Ziel:
[mm] ( [x_1 , y_1 ]_\sim , [x_2 , y_2 ]_\sim ) \sim ( [a_1 , b_1 ]_\sim , [a_2 , b_2 ]_\sim ) [/mm]
also gilt, wegen der Relation:
[mm][ x_1 , y_1 ]_\sim + [ a_2 , b_2 ]_\sim = [ a_1 , b_1 ]_\sim + [ x_2 , y_2 ]_\sim [/mm]
jetzt weiß ich nicht weiter....Kann man das irgendwie paarweise addieren?
Nein, oder?
Ich komm hier nicht weiter. Auch wenn man das addieren dürfte, dann bekäme ich das ja auch nicht so sortiert, wie ich das haben möchte.
Ich bitte nochmals um Hilfe!
|
|
|
| |
|
Ella, da haben wir uns verrannt:
> irgendwie zu viele [mm]\times[/mm] und [mm]\sim [/mm].
In der Tat, kurzzeitig auch für mich.
> Kann das sein, dass ich z.B. bei [mm]\alpha_{\IZ}[/mm] zeigen muss, dass
>
> [mm]( [x_1 , y_1 ]_\sim , [x_2 , y_2 ]_\sim ) \sim ( [a_1 , b_1 ]_\sim , [a_2 , b_2 ]_\sim )[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm][ x_1 +x_2 , y_1 + y_2 ]_\sim = [ a_1 +a_2 , b_1 + b_2 ]_\sim[/mm]
Nein, man muss zeigen: [mm](x_1 , y_1)\sim (x_2 , y_2)[/mm] und [mm](a_1 , b_1)\sim (a_2 , b_2)[/mm] [mm]\Rightarrow [ x_1 +x_2 , y_1 + y_2 ]_\sim = [ a_1 +a_2 , b_1 + b_2 ]_\sim[/mm].
Das müsste jetzt besser klappen, oder nicht?
Hochachtungsvoll, P.G. L. Dirichlet
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:30 Sa 08.01.2011 | | Autor: | ella87 |
> Ella, da haben wir uns verrannt:
>
> > irgendwie zu viele [mm]\times[/mm] und [mm]\sim [/mm].
>
> In der Tat, kurzzeitig auch für mich.
>
> > Kann das sein, dass ich z.B. bei [mm]\alpha_{\IZ}[/mm] zeigen muss,
> dass
> >
> > [mm]( [x_1 , y_1 ]_\sim , [x_2 , y_2 ]_\sim ) \sim ( [a_1 , b_1 ]_\sim , [a_2 , b_2 ]_\sim )[/mm]
> > [mm]\Rightarrow[/mm] [mm][ x_1 +x_2 , y_1 + y_2 ]_\sim = [ a_1 +a_2 , b_1 + b_2 ]_\sim[/mm]
>
> Nein, man muss zeigen: [mm](x_1 , y_1)\sim (x_2 , y_2)[/mm] und
> [mm](a_1 , b_1)\sim (a_2 , b_2)[/mm] [mm]\Rightarrow [ x_1 +x_2 , y_1 + y_2 ]_\sim = [ a_1 +a_2 , b_1 + b_2 ]_\sim[/mm].
>
> Das müsste jetzt besser klappen, oder nicht?
mmh. Irgendwie nicht. Ich hab da entwedern noch nen Fehler oder mir fehlt eine geniale Umformung.
[mm](x_1 , y_1)\sim (x_2 , y_2)[/mm] liefert mir [mm]x_1 + y_2 = x_2 + y_2 [/mm]
und [mm](a_1 , b_1)\sim (a_2 , b_2)[/mm] , dass [mm]a_1 + b_2 = a_2 + b_2 [/mm]
und was ich zeigen will, also [ [mm] x_1 +x_2 [/mm] , [mm] y_1 [/mm] + [mm] y_2 ]_\sim [/mm] = [ [mm] a_1 +a_2 [/mm] , [mm] b_1 [/mm] + [mm] b_2 ]_\sim [/mm] [/mm] lässt sich umformen (wir haben da ein Lemma) zu
[mm](x_1 +x_2 , y_1 + y_2) \sim (a_1 +a_2 , b_1 + b_2 )[/mm]
also [mm] x_1 +x_2 + b_1 + b_2 = a_1 +a_2 + y_1 + y_2 [/mm]
aber dann komme ich nicht weiter.
ich kann die ersten beiden Gleichungen addieren oder subtrahieren wie ich will ich komme nicht auf das auf das ich kommen will. Die Vorzeichen stimmen nie!
Kannst du mir da nochmal weiterhelfen. Dann kann doch nicht so schwer sein!!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:04 Sa 08.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> > Ella, da haben wir uns verrannt:
> >
> > > irgendwie zu viele [mm]\times[/mm] und [mm]\sim [/mm].
> >
> > In der Tat, kurzzeitig auch für mich.
sowas passiert sehr leicht... Edit: ich musste mich gerade auch korrigieren 
> > > Kann das sein, dass ich z.B. bei [mm]\alpha_{\IZ}[/mm] zeigen muss,
> > dass
> > >
> > > [mm]( [x_1 , y_1 ]_\sim , [x_2 , y_2 ]_\sim ) \sim ( [a_1 , b_1 ]_\sim , [a_2 , b_2 ]_\sim )[/mm]
> > > [mm]\Rightarrow[/mm] [mm][ x_1 +x_2 , y_1 + y_2 ]_\sim = [ a_1 +a_2 , b_1 + b_2 ]_\sim[/mm]
> >
> > Nein, man muss zeigen: [mm](x_1 , y_1)\sim (x_2 , y_2)[/mm] und
> > [mm](a_1 , b_1)\sim (a_2 , b_2)[/mm] [mm]\Rightarrow [ x_1 +x_2 , y_1 + y_2 ]_\sim = [ a_1 +a_2 , b_1 + b_2 ]_\sim[/mm].
>
> >
> > Das müsste jetzt besser klappen, oder nicht?
>
>
> mmh. Irgendwie nicht. Ich hab da entwedern noch nen Fehler
> oder mir fehlt eine geniale Umformung.
>
> [mm](x_1 , y_1)\sim (x_2 , y_2)[/mm] liefert mir [mm]x_1 + y_2 = x_2 + y_2[/mm]
>
> und [mm](a_1 , b_1)\sim (a_2 , b_2)[/mm] , dass [mm]a_1 + b_2 = a_2 + b_2[/mm]
>
>
>
> und was ich zeigen will, also [ [mm]x_1 +x_2[/mm] , [mm]y_1[/mm] + [mm]y_2 ]_\sim[/mm]
> = [ [mm]a_1 +a_2[/mm] , [mm]b_1[/mm] + [mm]b_2 ]_\sim[/mm][/mm]
Da ist wieder ein Wurm drinnen. (Da hat wohl jemand einen grossen Eimer Würmer umgekippt...)
Also. Wir haben: [mm] $[x_1, y_1]_\sim [/mm] = [mm] [a_1, b_1]_\sim$ [/mm] und [mm] $[x_2, y_2]_\sim [/mm] = [mm] [a_2, b_2]_\sim$, [/mm] oder in anderen Worten: [mm] $(x_1, y_1) \sim (a_1, b_1)$ [/mm] und [mm] $(x_1, y_1) \sim (a_2, b_2)$
[/mm]
Wir wollen zeigen: [mm] $[x_1 [/mm] + [mm] x_2, y_1 [/mm] + [mm] y_2]_\sim [/mm] = [mm] [a_1 [/mm] + [mm] a_2, b_1 [/mm] + [mm] b_2]_\sim$, [/mm] oder in anderen Worten: [mm] $(x_1 [/mm] + [mm] x_2, y_1 [/mm] + [mm] y_2) \sim (a_1 [/mm] + [mm] a_2, b_1 [/mm] + [mm] b_2)$.
[/mm]
Damit sollte es jetzt wirklich klappen
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:07 Sa 08.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei ~ eine Äquivalenzrelation auf [mm]\IN \times \IN[/mm]
> definiert durch:
> [mm]\forall ( n_1 , m_1 ) , ( n_2 , m_2 ) \in \IN \times \IN[/mm] :
> [mm]( n_1 , m_1 ) \sim ( n_2 , m_2 ) \gdw n_1 + m_2 = n_2 + m_1 [/mm].
> Sei [mm]\IZ = ( \IN \times \IN ) / \sim [/mm].
>
> Sei
> [mm]\alpha_{\IZ} : \IZ \times \IZ \to \IZ[/mm] , [mm]( [ n_1 , m_1 ]_\sim ,[ n_2 , m_2 ]_\sim ) \mapsto [ n_1 + n_2 , m_1 + m_2 ]_\sim[/mm]
>
> und
> [mm]\mu_{\IZ}: \IZ \times \IZ \to \IZ[/mm] , [mm]( [ n_1 , m_1 ]_\sim ,[ n_2 , m_2 ]_\sim ) \mapsto [ n_1 n_2 + m_1 m_2 , n_1 m_2 + m_1 n_2 ]_\sim [/mm].
>
> Zeigen Sie, dass die Abbildungen [mm]\alpha_{\IZ}[/mm] und [mm]\mu_{\IZ}[/mm]
> wohldefiniert sind, d.h. dass die Addition und die
> Multiplikation an den ganzen Zahlen wohldefiniert sind.
> Hier komm ich leider garnicht klar.
>
> irgendwie zu viele [mm]\times[/mm] und [mm]\sim [/mm].
>
> Kann das sein, dass ich z.B. bei [mm]\alpha_{\IZ}[/mm] zeigen muss,
> dass
>
> [mm]( [x_1 , y_1 ]_\sim , [x_2 , y_2 ]_\sim ) \sim ( [a_1 , b_1 ]_\sim , [a_2 , b_2 ]_\sim )[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm][ x_1 +x_2 , y_1 + y_2 ]_\sim = [ a_1 +a_2 , b_1 + b_2 ]_\sim[/mm]
> ???????
Das war schon fast richtig: wenn du ein [mm] $\sim$ [/mm] durch = ersetzt, stimmt es:
> [mm]( [x_1 , y_1 ]_\sim , [x_2 , y_2 ]_\sim ) = ( [a_1 , b_1 ]_\sim , [a_2 , b_2 ]_\sim )[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm][ x_1 +x_2 , y_1 + y_2 ]_\sim = [ a_1 +a_2 , b_1 + b_2 ]_\sim[/mm]
LG Felix
|
|
|
|
