Äquivalenzrelation, Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:02 Do 06.11.2008 | | Autor: | Klemme |
| Aufgabe | Sei X eine nicht-leere Menge, sei f : X [mm] \to [/mm] Y eine Abbildung. Wir definieren wie folgt eine Relation auf X: x [mm] \sim [/mm] y: [mm] \gdw [/mm] f(x) = f(y).
Zeigen Sie:
a) [mm] \sim [/mm] ist eine Äquivalenzrelation auf X.
b) Es gibt genau eine Abbildung [mm] \overline{f}: X_{/\sim}\to [/mm] Y mit [mm] \overline{f} ([x]\sim) [/mm] = f(x).
[mm] c)\overline{f} [/mm] ist injektiv |
Mein Lösungsversuch wäre folgender:
a) Eine Äquivalenzrelation ist gegeben, wenn Reflexivität, Transitivität und Symetrie erfüllt sind:
(R) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X: x [mm] \sim [/mm] x
hier: f(x) 0 f(x) [mm] \to [/mm] x = x
(S) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X: x [mm] \sim [/mm] y [mm] \gdw [/mm] y [mm] \sim [/mm] x
hier: f(x) = [mm] f(y)\gdw [/mm] f(y) = f(x)
(T) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X: x [mm] \sim [/mm] y [mm] \wedge [/mm] y [mm] \sim [/mm] x
hier: (f(x) = [mm] f(y)\wedge [/mm] f(y) = f(z)) [mm] \to [/mm] f(x) = f(z)
Ist das so schon gezeigt?
b)Es gibt genau eine Abbildung, wenn gilt:
[mm] \forall [/mm] x, [mm] x^{|} \in [/mm] X: x [mm] \sim x^{|} \to [/mm] f(x) = f(y) (Wohldefiniertheit)
Dies ist in der Definition der Relation schon festgelegt.
... Oder muss ich den Beweis anders führen? Dieser erscheint mir zu kurz und sieht auch nicht nach einem Beweis aus. Wie kann ich zeigen, dass [mm] \overline{f} ([x]\sim) [/mm] = f(x) gilt?
c)Definition der Injektivität:
f heißt injektiv, wenn zu jedem y aus Y höchstens ein x aus X existiert mit f(x) = y
Es muss also gelten: [mm] \forall [/mm] y [mm] \in Y:\exists! [/mm] x [mm] \in [/mm] X: f(x) =y oder [mm] \neg (\exists x\in [/mm] X: f(x) = y)
Falls ich gezeigt habe, dass b) gilt, ist f laut dieser Definition injektiv.
Würde dieser Satz reichen oder kann man das auch noch irgendwie formal zeigen?
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> Sei X eine nicht-leere Menge, sei f : X [mm]\to[/mm] Y eine
> Abbildung. Wir definieren wie folgt eine Relation auf X: x
> [mm]\sim[/mm] y: [mm]\gdw[/mm] f(x) = f(y).
>
> Zeigen Sie:
> a) [mm]\sim[/mm] ist eine Äquivalenzrelation auf X.
>
> b) Es gibt genau eine Abbildung [mm]\overline{f}: X_{/\sim}\to[/mm]
> Y mit [mm]\overline{f} ([x]\sim)[/mm] = f(x).
>
> [mm]c)\overline{f}[/mm] ist injektiv
> Mein Lösungsversuch wäre folgender:
>
> a) Eine Äquivalenzrelation ist gegeben, wenn Reflexivität,
> Transitivität und Symetrie erfüllt sind:
> (R) [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] X: x [mm]\sim[/mm] x
> hier: f(x) = f(x) [mm]\to[/mm] x = x
Hallo,
Du mußt hier so schreiben:
Sei [mm] x\in [/mm] X. Es ist f(x)=f(x) <==> [mm] x\sim [/mm] x.
> (S) [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] X: x [mm]\sim[/mm] y [mm]\gdw[/mm] y [mm]\sim[/mm] x
> hier: f(x) = [mm]f(y)\gdw[/mm] f(y) = f(x)
> (T) [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] X: x [mm]\sim[/mm] y [mm]\wedge[/mm] y [mm]\sim[/mm] x
> hier: (f(x) = [mm]f(y)\wedge[/mm] f(y) = f(z)) [mm]\to[/mm] f(x) = f(z)
>
> Ist das so schon gezeigt?
Ja. Ich würd's noch ein bißchen schöner aufschreiben.
Etwa so:
Reflexivität:
Zu zeigen: Für alle [mm] x,y\in [/mm] X gilt: [mm] x\sim [/mm] y <==> [mm] y\sim [/mm] x
Beweis: Seien x,y [mm] \in [/mm] X .
[mm] x\sim [/mm] y
<==>
f(x)=f(y)
<==>
f(y)=f(x)
<==> [mm] y\sim [/mm] x
>
> b)Es gibt genau eine Abbildung, wenn gilt:
> [mm]\forall[/mm] x, [mm]x^{|} \in[/mm] X: x [mm]\sim x^{|} \to[/mm] f(x) = f(y)
> (Wohldefiniertheit)
>
> Dies ist in der Definition der Relation schon festgelegt.
>
> ... Oder muss ich den Beweis anders führen? Dieser
> erscheint mir zu kurz
Wenn Ihr das da oben in der Vorlesung so aufgeschrieben habt, bist Du fertig.
[Es geht halt darum, daß [x] =[y] sein kann, obgleich [mm] x\not=y, [/mm] und man muß natürlich ausschließen,
daß bei [mm] \overline{f}([x] [/mm] ) was anderes herauskommt als [mm] \overline{f}([y] [/mm] ) . Diesbezüglich muß man immer wachsam sein, wenn Abbildungen auf Äquivalenzklassen definiert werden.]
>
> c)Definition der Injektivität:
> f heißt injektiv, wenn zu jedem y aus Y höchstens ein x
> aus X existiert mit f(x) = y
> Es muss also gelten: [mm]\forall[/mm] y [mm]\in Y:\exists![/mm] x [mm]\in[/mm] X:
> f(x) =y oder [mm]\neg (\exists x\in[/mm] X: f(x) = y)
>
> Falls ich gezeigt habe, dass b) gilt, ist f laut dieser
> Definition injektiv.
>
> Würde dieser Satz reichen oder kann man das auch noch
> irgendwie formal zeigen?
Du mußt es formal zeigen, so überzeugt mich das nicht.
Sei [mm] \overline{f}([x])=\overline{f}([y]).
[/mm]
Du mußt nun zeigen, daß hieraus [x]=[y] folgt.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:54 Do 06.11.2008 | | Autor: | Klemme |
Danke für die Korrektur und die Tips.
LG Klemme
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