Äquivalenzrelation / -klassen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:20 Do 24.01.2008 | | Autor: | fkerber |
| Aufgabe | Wir definieren die folgende Äquivalenzrelation auf M := N x N durch (a; b) ~ (c; d) genau dann, wenn a + d = b + c.
(a) Zeigen Sie, dass dies eine Äquivalenzrelation auf M ist.
(b) Beschreiben Sie alle Elemente der Äquivalenzklassen [(2; 2)] und [(4;1)].
(c) Definieren Sie die Addition von Äquivalenzklassen durch
[(a; b)] + [(c; d)] := [(a + c; b + d)]
Zeigen Sie, dass diese Addition wohldefiniert ist, d.h. unabhängig von den gewählten Repräsentanten der Äquivalenzklassen ist.
(d) Zeigen Sie [(a; b)] + [(3; 3)] = [(a; b)] und [(2; 5)] + [(7; 5)] = [(1; 2)]
(e) Kennen Sie die Menge der Äquivalenzklassen M/~ unter anderem Namen? |
Hi!
Ich hab mit dieser Aufgabe meine paar Problemchen:
Zu a)
Da muss ich ja Reflexivität prüfen, also (a,b) ~ (a,b):
a+b = b+a - gut das klappt
Symmetrie:
a+d = b+c und c+b = d+a - klappt auch
Transitivität: da fängts schon an:
Mein Versuch:
a+d = b+c und c+f = d+e
z.z. a+f = b+e
a-b = c-d
c-d = e-f
a-b=e-f
==> a+f = b+e
Iss das alles soweit richtig oder hakt es da irgendwo?
Bei b)-d) habe ich leider so gar keine Ahnung, was man von mir will. Auch Wiki o.ä. hat mich nicht weiter gebracht.
Zu b) Wie kann ich denn was finden, was mit [(2,2)] in einer Klasse ist? Ich mein, ich kenn das von modulo-rechnen, dass halt bei mod 3 z.B. die 4 in der selben Klasse ist, wie die 1 , aber sowas wie modulo iss ja hier gar nicht....
Ich bin verwirrt....
Ciao, und Danke im Voraus
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Hallo!
Deine Reflexivität und Symmetrie hast dur richtig nachgewiesen auch wenn etwas zu unausführlich wie ich finde.
Zur Transitivität: (a,b)~(c,d) und (c,d)~(e,f) So musst du starten. Das formst du dann zu deinen Bedingungen um a+c=b+d und c+e=d+f...Aus der ersten gleichung folgt... aus der zweiten gleichung folgt...was ergibt das zusammmen? Am ende sollte ja stehen(a,b)~(e,f)
zu b) deine Ausführen zu den Modulen war gar nicht so verkehrt. in der ÄK (n,m)/~ liegen alle Paare aus [mm] \IN \times \IN [/mm] die für die differenz der komponenten gleichn-m ist, denn (n,m)~(k,l) bedeutet ja gerade n+l=m+k (na fällt dir was auf?) oder anders geschrieben n-m=k-l. Man kann also jede ÄK als ganze zahl auffassen.
zu c) wähle dir zwei ÄK r [mm] \in [/mm] (a,b) und s [mm] \in [/mm] (a',b') dasselbe für (c,d) und für die addition natürlich auch. dann zeigst du die wohldefiniertheit das bedeutet dass es egal ist welche AK zu wählst immer das selbe raus kommt. zum Beispiel ist [mm] \bruch{4}{6} [/mm] doch das selbe wie [mm] \bruch{2}{3}!!!
[/mm]
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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