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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:39 Mo 15.12.2008 | | Autor: | Calcio |
| Aufgabe | Es sei p eine Primzahl. Zeigen Sie, dass auf der Menge der natürlichen Zahlen durch
x ~ y : <=> x mod p = y mod p
eine Äquivalenzrelation ist. |
Hallo Leute,
ich weiß es ist spät am Abend, aber ich brauch nochmal schnell eure Hilfe.
ich weiß, dass ich Reflexivität, Transivität und Symmetrie nachweisen muss, allerdings weis ich nicht genau wie.... :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:17 Di 16.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sei p eine Primzahl. Zeigen Sie, dass auf der Menge der
> natürlichen Zahlen durch
> x ~ y : <=> x mod p = y mod p
>
> eine Äquivalenzrelation ist.
> Hallo Leute,
>
> ich weiß es ist spät am Abend, aber ich brauch nochmal
> schnell eure Hilfe.
> ich weiß, dass ich Reflexivität, Transivität und Symmetrie
> nachweisen muss, allerdings weis ich nicht genau wie.... :(
genau. Wo hapert es denn?
Die Reflexivität ist offensichtlich:
Ist $x$ eine natürliche Zahl, so gilt stets $x [mm] \text{ mod } [/mm] p=x [mm] \text{ mod } [/mm] p$.
Zur Symmetrie:
Du musst begründen, dass, für $x,y$ natürliche Zahlen, aus $x [mm] \text{ mod }p [/mm] = y [mm] \text{ mod }p$ [/mm] auch $y [mm] \text{ mod }p= [/mm] x [mm] \text{ mod }p$ [/mm] folgt. Ähm ja: "=" ist symmetrisch, also ist auch das trivial.
Zur Transitivität:
Hier sind nun $x,y,z$ natürliche Zahlen. Zu zeigen ist:
Wenn $x [mm] \sim [/mm] y$ und $y [mm] \sim [/mm] z$, dann folgt auch $x [mm] \sim [/mm] z$.
D.h.:
Unter den Voraussetzungen, dass $x [mm] \text{ mod } [/mm] p=y [mm] \text{ mod } [/mm] p$ gilt (das ist ja per Definitionem gleichwertig mit $x [mm] \sim [/mm] y$) und $y [mm] \text{ mod }p=z \text{ mod }p$ [/mm] ist zu zeigen, dass $x [mm] \text{ mod }p [/mm] = z [mm] \text{ mod }p$. [/mm]
Die ganze Aufgabe ist also ziemlich trivial, wenn man beachtet, was "=" für Eigenschaften hat.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Di 16.12.2008 | | Autor: | reverend |
Hieß = nicht neulich noch [mm] \equiv?
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:25 Di 16.12.2008 | | Autor: | Calcio |
Dieses x modulo p bedeutet doch, dass ich x durch p teile und dann nur den Rest betrachte oder?
wäre dann die Reflexivität: x/p - x/p = 0 => x/p = x/p ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:27 Di 16.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Dieses x modulo p bedeutet doch, dass ich x durch p teile
> und dann nur den Rest betrachte oder?
>
> wäre dann die Reflexivität: x/p - x/p = 0 => x/p = x/p ?
z.B., zumindest habe ich die Aufgabe so verstanden.
Also mal ein Bsp. zur Transitivität mit $p=11$:
Es gilt $19$ mod $11=8$, $30$ mod $11=8$ und $41$ mod $11=8$.
Damit steht dort wegen $8=8$ gerade $19$ mod $11$=$41$ mod $11$.
Oder ich verstehe die Aufgabe total falsch...
Gruß,
Marcel
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