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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:17 Do 09.04.2015 | | Autor: | riju |
| Aufgabe | Untersuchen Sie jeweils, ob R eine Äquivalenzrelation ist.
[mm] R := \{(x,y) \in \IZ \times \IZ : 5|x-y\}[/mm] |
Ich würde sagen, dass die Symmetrie verletzt ist. Da wenn x=y ist, ist zwar [mm] (5,0) \in R [/mm], aber [mm] (0,5) \not\in R [/mm].
Oder sehe ich das falsch?
Vielen Dank für die Hilfe.
riju
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Hiho,
> Oder sehe ich das falsch?
ja, du behauptest $(0,5) [mm] \not\in [/mm] R$.
Es gilt aber [mm] $(0,5)\in [/mm] R$.
Es ist doch $0-5=-5$ und $5|(-5)$
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Do 09.04.2015 | | Autor: | riju |
Ok, danke.
Aber was ist denn wenn x=y ist?
Dann wäre doch [mm]x-y=0[/mm] und [mm] 5|0 [/mm], aber 0 ist doch kein Teiler von 5, oder?
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Hiho,
> Aber was ist denn wenn x=y ist?
> Dann wäre doch [mm]x-y=0[/mm] und [mm]5|0 [/mm]
korrekt und damit ist [mm] $(x,y)\in [/mm] R$
> aber 0 ist doch kein Teiler von 5, oder?
das muss es doch auch gar nicht sein!
Schreiben wir alles mal formal auf:
$(x,y) [mm] \in [/mm] R [mm] \quad\gdw\quad [/mm] 5|(x-y)$
Nun soll auch $(y,x) [mm] \in [/mm] R$ gelten mit
$(y,x) [mm] \in [/mm] R [mm] \quad\gdw\quad [/mm] 5|(y-x)$
und eben nicht $(x-y)|5$
Es bleibt also immer nur dabei zu prüfen, ob 5 einen Ausdruck teilt und nicht ob irgendein Ausdruck auch die 5 teilt.
D.h. die Frage ist nicht "ist die "a|b"-Operation Symmetrisch" sondern "ist die Relation symmetrisch".
Und das ist sie.
Gruß,
Gono.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:56 Fr 10.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ok, danke.
>
> Aber was ist denn wenn x=y ist?
> Dann wäre doch [mm]x-y=0[/mm] und [mm]5|0 [/mm], aber 0 ist doch kein
> Teiler von 5, oder?
Natürlich nicht. Aber 5 ist ein Teiler von 0.
Mach Dir klar, was a|b bedeutet !
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:44 Do 09.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Untersuchen Sie jeweils, ob R eine Äquivalenzrelation
> ist.
> [mm]R := \{(x,y) \in \IZ \times \IZ : 5|x-y\}[/mm]
> Ich würde
> sagen, dass die Symmetrie verletzt ist. Da wenn x=y ist,
> ist zwar [mm](5,0) \in R [/mm], aber [mm](0,5) \not\in R [/mm].
>
> Oder sehe ich das falsch?
Du bringst was durcheinander: Das, was "symmetrisch" zu
$(x,y) [mm] \in [/mm] R$ [mm] $\iff$ $5\mid [/mm] (x-y)$
ist, sieht doch so aus:
$(y,x) [mm] \in [/mm] R$ [mm] $\iff$ [/mm] $5 [mm] \mid (y-x)\,.$
[/mm]
Es ist nicht die Frage, ob aus
[mm] $5\mid [/mm] (x-y)$
auch
[mm] $(x-y)\mid [/mm] 5$
folgt, sondern es ist die Frage, ob gilt:
[mm] $\underbrace{5 \mid (x-y)}_{\iff (x,y) \in R}$ [/mm]
[mm] $\red{\Longrightarrow}$ $\underbrace{5 \mid (y-x)}_{\iff (y,x) \in R}$ [/mm]
(Also ob der rote Folgerungspfeil geschrieben werden darf!)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:51 Do 09.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Untersuchen Sie jeweils, ob R eine Äquivalenzrelation
> ist.
> [mm]R := \{(x,y) \in \IZ \times \IZ : 5|x-y\}[/mm]
manchmal kann es auch helfen, sich erstmal wenigstens ein paar Elemente
von R hinzuschreiben; es ist bspw. (begründe es selbst!)
- $(0,5) [mm] \in [/mm] R$
- $(1,6) [mm] \in [/mm] R$
- $(6,1) [mm] \in [/mm] R$
- $(12,2) [mm] \in [/mm] R$
- $(495,55) [mm] \in [/mm] R$
- $(-12,-17) [mm] \in [/mm] R$
- $(-104,-129) [mm] \in [/mm] R$
Aber bspw. gilt auch
- $(-1,7) [mm] \notin [/mm] R$
- $(11,-132) [mm] \notin [/mm] R$
Was *bzgl. theoretischer Überlegungen* hilfreich sein kann:
$5 [mm] \mid [/mm] (x-y)$ [mm] $\iff$ $\exists$ [/mm] $k [mm] \in \IZ$: [/mm] $x-y=k*5$ (bzw. $x=y+k*5$)
Gruß,
Marcel
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