Äquivalenzrel. & Repräsentens. < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:11 Mo 23.02.2009 | | Autor: | SirSmoke |
| Aufgabe | Es sei V ein Vektorraum und U ein UVR mit Komplementärraum W.
a) Zeigen sie, dass durch [mm] a\sim [/mm] b [mm] :\gdw\exists x\in [/mm] U: a-b=x eine Äquivalenzrelation auf V gegeben wird.
b) Zeigen sie, dass W ein vollständiges Repräsentantensystem für diese Äquivalenzrelation ist.
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Hallo :)
Ich würde wieder gerne eure tolle Hilfe in Anspruch nehmen, denn ich weiß leider mal wieder nicht weiter.
Zur a) würde ich mal sagen, dass es keine Äquivalenzrelation ist, da es doch beim Beweis der Transitivität scheitern würde, oder liege ich hier falsch?
Ich habe bislang folgendes:
1) Reflexivität: a=a [mm] \gdw a\sim [/mm] a
2) Symmetrie: [mm] a\sim [/mm] b [mm] \gdw [/mm] a=b [mm] \gdw [/mm] b=a [mm] \gdw b\sim [/mm] a
3) Transitivität: [mm] a\sim [/mm] b, aber wenn [mm] a\sim [/mm] x und [mm] b\sim [/mm] x, dann klappt das mit a-b=x nicht mehr so ganz
Würde das hier schon reichen als Beweis?
Zur b) habe ich bisher leider keinen blassen Schimmer :(
Vielen Dank für eure Hilfe,
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:04 Mo 23.02.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sei V ein Vektorraum und U ein UVR mit Komplementärraum
> W.
>
> a) Zeigen sie, dass durch [mm]a\sim[/mm] b [mm]:\gdw\exists x\in[/mm] U:
> a-b=x eine Äquivalenzrelation auf V gegeben wird.
>
> b) Zeigen sie, dass W ein vollständiges
> Repräsentantensystem für diese Äquivalenzrelation ist.
>
> Hallo :)
> Ich würde wieder gerne eure tolle Hilfe in Anspruch nehmen,
> denn ich weiß leider mal wieder nicht weiter.
>
> Zur a) würde ich mal sagen, dass es keine
> Äquivalenzrelation ist, da es doch beim Beweis der
> Transitivität scheitern würde, oder liege ich hier falsch?
> Ich habe bislang folgendes:
>
> 1) Reflexivität: a=a [mm]\gdw a\sim[/mm] a
> 2) Symmetrie: [mm]a\sim[/mm] b [mm]\gdw[/mm] a=b [mm]\gdw[/mm] b=a [mm]\gdw b\sim[/mm] a
> 3) Transitivität: [mm]a\sim[/mm] b, aber wenn [mm]a\sim[/mm] x und [mm]b\sim[/mm] x,
> dann klappt das mit a-b=x nicht mehr so ganz
>
> Würde das hier schon reichen als Beweis?
nein, denn leider ist es falsch.
[mm] $\bullet$ [/mm] Reflexivität:
$a [mm] \sim [/mm] a$ gilt für alle $a [mm] \in [/mm] V$, weil:
Für alle $a [mm] \in [/mm] V$ gilt [mm] $a-a=0\,,$ [/mm] und $0 [mm] \in [/mm] U$ gilt, weil $U$ ein Unterraum des Vektorraums $V$ ist.
[mm] $\bullet$ [/mm] Symmetrie:
Sei $a [mm] \sim b\,,$ [/mm] d.h. seien $a,b [mm] \in [/mm] V$ mit [mm] $\exists [/mm] x [mm] \in [/mm] U$ mit [mm] $x=a-b\,.$ [/mm] Zu zeigen ist nun $b [mm] \sim a\,,$ [/mm] d.h., zu zeigen ist, dass ein [mm] $\tilde{x} \in [/mm] U$ existiert mit [mm] $\tilde{x}:=b-a\,.$ [/mm]
Das machst Du nun, indem Du begründest, dass [mm] $\tilde{x}:=-x$ [/mm] dies tut (wichtig ist dabei, zu beachten, dass $U$ ein Unterraum ist).
[mm] $\bullet$ [/mm] Transitivität:
Seien $a,b,c [mm] \in [/mm] V$ mit $a [mm] \sim [/mm] b$ und $b [mm] \sim [/mm] c$, d.h. es existieren $x,y [mm] \in [/mm] U$ mit $x=a-b$ und $y=b-c$.
Zu zeigen ist nun $a [mm] \sim [/mm] c$, d.h. dass ein $z [mm] \in [/mm] U$ existiert mit [mm] $z=a-c\,.$
[/mm]
Definiere dafür [mm] $z=x+y\,.$ [/mm] Warum gilt $z [mm] \in [/mm] U$? Warum ist $z=a-c$?
Bei Teil b) solltest Du beachten, dass jedes $v [mm] \in [/mm] V$ eine eindeutige Darstellung der Form $v=u+w$ mit je einem $u [mm] \in [/mm] U$ und einem $w [mm] \in [/mm] W$ hat. Und nun gilt [mm] $[v_1]_\sim=[v_2]_\sim$ [/mm] genau dann, wenn für [mm] $v_1=u_1+w_1$ [/mm] und [mm] $v_2=u_2+w_2$ ($u_j \in U\,,$ $w_j \in [/mm] W$, $j=1,2$) dann [mm] $w_1=w_2$ [/mm] ist.
Damit bildet für jedes beliebige $v [mm] \in [/mm] V$ dann [mm] $\{[v+w]_\sim:\; w \in W\}$ [/mm] die Menge der Äquivalenzklassen, insbesondere kann $v=0 [mm] \in [/mm] V$ gewählt werden. Damit erhältst Du dann b).
P.S.:
Ergänzungen:
[mm] $\bullet$[/mm] ![[]](/images/popup.gif) Link zum Begriff Repräsentantsystem
[mm] $\bullet$[/mm] Link zum Begriff: Äquivalenzrelation (Wiki)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:59 Di 24.02.2009 | | Autor: | SirSmoke |
okay, ich habe mich nun nochmal am Aufgabenteil a) probiert
1) Reflexivität
Sei a [mm] \in [/mm] V, dann gilt [mm] a\sim [/mm] a [mm] \gdw [/mm] a-a=0 [mm] \in [/mm] U. Da U UVR, ist 0 [mm] \in [/mm] U
2) Symmetrie
Sei a,b [mm] \in [/mm] V und [mm] a\sim [/mm] b, dann gilt a-b [mm] \in [/mm] U. Da U UVR, gilt -(a-b) = b-a [mm] \in [/mm] U, also gilt [mm] b\sim [/mm] a
3) Transitivität
Sei a,b,c [mm] \in [/mm] V mit [mm] a\sim [/mm] b und [mm] b\sim [/mm] c. Dann gilt a-b [mm] \in [/mm] U und b-c [mm] \in [/mm] U.
Also ist a-c = a-b-(c-b) [mm] \in [/mm] U. Somit gilt [mm] a\sim [/mm] c.
Und damit wäre bewiesen, dass eine Äquivalenzrelation auf V gegeben wird.
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> okay, ich habe mich nun nochmal am Aufgabenteil a)
> probiert
>
> 1) Reflexivität
> Sei a [mm]\in[/mm] V, dann gilt [mm]a\sim[/mm] a [mm]\gdw[/mm] a-a=0 [mm]\in[/mm] U. Da U UVR,
> ist 0 [mm]\in[/mm] U
>
> 2) Symmetrie
> Sei a,b [mm]\in[/mm] V und [mm]a\sim[/mm] b, dann gilt a-b [mm]\in[/mm] U. Da U UVR,
> gilt -(a-b) = b-a [mm]\in[/mm] U, also gilt [mm]b\sim[/mm] a
>
> 3) Transitivität
> Sei a,b,c [mm]\in[/mm] V mit [mm]a\sim[/mm] b und [mm]b\sim[/mm] c. Dann gilt a-b [mm]\in[/mm]
> U und b-c [mm]\in[/mm] U.
> Also ist a-c = a-b-(c-b) [mm]\in[/mm] U. Somit gilt [mm]a\sim[/mm] c.
Hallo,
auch bei 3) solltest Du noch die Unterraumeigenschaft v. U erwähnen zur Begründung.
Es ist jetzt richtig, was Du getan hast.
Gruß v. Angela
>
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> Und damit wäre bewiesen, dass eine Äquivalenzrelation auf V
> gegeben wird.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:00 Di 24.02.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> 3) Transitivität
> Sei a,b,c [mm]\in[/mm] V mit [mm]a\sim[/mm] b und [mm]b\sim[/mm] c. Dann gilt a-b [mm]\in[/mm]
> U und b-c [mm]\in[/mm] U.
> Also ist a-c = a-b-(c-b) [mm]\in[/mm] U. Somit gilt [mm]a\sim[/mm] c.
das blaugeschriebene wäre ein (unnötiger) Umweg, wo Du die Symmetrie mitbenützen solltest. Besser wäre es, direkt zu schreiben:
[mm] $$a-c\,=\,(a-b)+(b-c)$$
[/mm]
[mm] $\text{(}$eigentlich [/mm] ganz ausführlich sogar so (mit $0$ als additiv neutrales Element von $V$ und wegen der Assoziativität):
[mm] $$a-c=(a+0)-c=(a+(-b+b))-c=((a-b)+b)-c=(a-b)+(b-c)\text{)}$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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