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| Aufgabe | 1) Ist die folgende Relation auf [mm] \IZ [/mm]
n ~ m genau dann wen n [mm] \le [/mm] m
eine Äquivalenzrelation? |
Nein, da sie nicht symmetrisch ist.
Symmetrisch: auss n ~m folgt m ~ n
n ~ m d.h. n [mm] \le [/mm] m
m ~ n d.h. m [mm] \le [/mm] n
SOll ich dass jetzt am besten mittels Gegenbsp demonstrieren'?
1 [mm] \le [/mm] 2
2 [mm] \le [/mm] 1 -> falsche aussage
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:58 Do 08.12.2011 | | Autor: | Blech |
Richtig.
Noch schöner wäre eine ausführliche Kette bis zum Widerspruch:
[mm] $1\leq [/mm] 2\ [mm] \gdw\ 1\sim [/mm] 2\ [mm] \gdw\ 2\sim [/mm] 1\ [mm] \gdw\ 2\leq [/mm] 1$
bzzzt.
ciao
Stefan
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okay vielen dank
Mein zweites Bsp wäre:
x ~y
[mm] sin^2 [/mm] x + [mm] cos^2 [/mm] y =1
Äquivalenzrelation?
Hier hab ich raus, dass es sich ume eine handelt.
> Reflexivität wegen (phytagoras am einheitskreis angewandt)
> Symmetrie wegen Kommutativität
> Transitivität (Umformen einsetzen)
Ich hab es jetzt nur kurz beschrieben, was ich jeweils gemacht habe.
STimmt doch dann so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 Do 08.12.2011 | | Autor: | Blech |
> Symmetrie wegen Kommutativität
Das würde mich interessieren.
Ich würde einfach umformen:
[mm] $\sin^2x+\cos^2 [/mm] y= 1$
[mm] $\Leftrightarrow\ \cos^2 [/mm] y = [mm] \cos^2 [/mm] x$
Dann sieht man alle drei sofort (könnte sein, daß Du das mit Kommutativität meinst)
ciao
Stefan
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Nochmal ausführlich ( da ich mir nicht sicher bin)
-) reflexivität
x ~ x
[mm] sin^2 [/mm] x + [mm] cos^2 [/mm] x = 1
korrekt wegen Satz des Phytagoras angewandt am einheitskreis
-) symmetrisch
x ~ y d.h [mm] sin^2 [/mm] x + [mm] cos^2 [/mm] y = 1
<=> [mm] sin^2 [/mm] x + [mm] cos^2 [/mm] y = [mm] sin^2 [/mm] x + [mm] cos^2 [/mm] x
<=> [mm] cos^2 [/mm] y = [mm] cos^2 [/mm] x
-> y ~ x d.h [mm] sin^2 [/mm] y + [mm] cos^2 [/mm] x = 1
da [mm] sin^2 [/mm] y + [mm] cos^2 [/mm] x <=> [mm] sin^2 [/mm] y + [mm] cos^2 [/mm] y =1
korrekt wegen satz des Phytagoras angewandt am einheitskreis
-) transitiv
I x~y d.h [mm] sin^2 [/mm] x + [mm] cos^2 [/mm] y = 1
II y~z d.h [mm] sin^2 [/mm] y + [mm] cos^2 [/mm] z = 1
-> x ~ z d.h [mm] sin^2 [/mm] x + [mm] cos^2 [/mm] z = 1
da II sin^ y = 1 - [mm] cos^2 [/mm] z
in I [mm] sin^2 [/mm] x + [mm] cos^2 [/mm] y + [mm] cos^2 [/mm] z - 1 + 1 - [mm] cos^2 [/mm] z =1
<=> [mm] sin^2 [/mm] x + [mm] cos^2 [/mm] z + [mm] cos^2 [/mm] y + [mm] sin^2 [/mm] y - 1 =1
<=> [mm] sin^2 [/mm] x + [mm] cos^2 [/mm] z +1-1 =1
<=> [mm] sin^2 [/mm] x + [mm] cos^2 [/mm] z =1
Vielleicht umständlich aber richtig oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 Do 08.12.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
da sind einige Tipfehler drinnen, z.B.
> da $ [mm] sin^2 [/mm] $ y + $ [mm] cos^2 [/mm] $ x <=> $ [mm] sin^2 [/mm] $ y + $ [mm] cos^2 [/mm] $ y =1
fehlt hier die Hälfte vor dem [mm] $\gdw$.
[/mm]
Ich glaub Dir gerne, daß es richtig ist, wenn Du es sauber schreiben würdest. Nur kannst Du Dir die Fallstricke ersparen, indem Du feststellst:
1. [mm] $\sin^2x+\cos^2x [/mm] =1$ wegen Pythagoras.
2. Daraus folgt
[mm] $\sin^2 x+\cos^2y [/mm] = 1\ [mm] \gdw\ \cos^2x=\cos^2y$
[/mm]
3. D.h.
[mm] $x\sim [/mm] y\ [mm] \gdw\ \cos^2x=\cos^2y$
[/mm]
4. Die drei Eigenschaften folgen unmittelbar daraus, daß "=" eine Äquivalenzrelation ist.
Viel weniger Raum für Tipfehler. =)
ciao
Stefan
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> 2. Daraus folgt
> $ [mm] \sin^2 x+\cos^2y [/mm] = 1\ [mm] \gdw\ \cos^2x=\cos^2y [/mm] $
Dass hatte ich doch genauso.
symmetrisch
Und dann bei y ~ x d.h. [mm] sin^2 [/mm] y + [mm] cos^2 [/mm] x =1
kann man ja einfach einsetzen , was wir uns zuvor ausgerechnet haben( [mm] \cos^2x=\cos^2y [/mm] )
[mm] sin^2 [/mm] y + [mm] cos^2 [/mm] y =1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 Do 08.12.2011 | | Autor: | Blech |
> Dass hatte ich doch genauso.
Das hattest Du. Es ist nur alles einfacher, wenn Du es direkt verwendest, um die Äquivalenzrelation umzudefinieren.
[mm] $x\sim [/mm] y\ [mm] \gdw\ \cos^2x=\cos^2y$
[/mm]
1. Reflexiv:
[mm] $x\sim [/mm] x$, denn [mm] $\cos^2x=\cos^2 [/mm] x$
2. Symmetrisch:
[mm] $x\sim [/mm] y\ [mm] \gdw\ \cos^2x=\cos^2y\ \gdw\ \cos^2y=\cos^2x\ \gdw\ y\sim [/mm] x$
3. Transitiv:
[mm] $x\sim y,\, y\sim [/mm] z\ [mm] \gdw\ \cos^2x=\cos^2y=\cos^2 [/mm] z\ [mm] \Rightarrow\ x\sim [/mm] z$
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:08 Do 08.12.2011 | | Autor: | theresetom |
ISt klar ja ;))
Vielen dank!
Meist gehe ich den komplizierteren Weg, leder!
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:57 Do 08.12.2011 | | Autor: | theresetom |
ABer ich verstehe schon, deine Methode ist um einiges schneller
LG
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