Äquivalenzraltion und -klassen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei I [mm] \not= \emptyset [/mm] eine Menge und [mm] X_{i} [/mm] sei für alle i [mm] \in [/mm] I eine Menge. Für i,j [mm] \in [/mm] I schreibe [mm] X_{i} \sim X_{j}, [/mm] genau dann wenn es eine bijektive Abbildung f: [mm] X_{i} \to X_{j} [/mm] gibt. Zeige:
a) [mm] \sim [/mm] definiert eine Äquivalenzrelation auf [mm] {X_{i}: i \in I}.
[/mm]
b) Es sei nun I = {1,2,3,4} und [mm] X_{1} [/mm] = {a,7,0}, [mm] X_{2}= [/mm] {b,a}, [mm] X_{3}= [/mm] {p} und [mm] X_{4}= [/mm] {c,d,5}. Was sind die Äquivalenzklassen [mm] [X_{j}]_{\sim} [/mm] mit j = 1,2,3,4. |
Irgendwie weiß ich gar nicht wie ich hier anfangen soll.
Ich weiß das eine Äquivalenzrelation drei Eigenschaften erfüllen muss, reflexiv, symmetrisch und transitiv. Aber wie soll ich das nun zeigen?
Bei der b) weiß ich auch nicht wirklich weiter.
Haben das beispiel anhand der natürlichen Zahlen gemacht.
Wir haben die natürlichen Zahlen in zwei Mengen geteilt. [mm] X_{1}= [/mm] {Menge aller Zahlen die durch 2 teilbar sind und Rest 0 haben} und [mm] X_{2}= [/mm] {Menge aller Zahlen die durch 2 teilbar sind und Rest 1 haben}.
Somit gabs zwei Äquivalenzklassen:
[mm] [1]_{\sim} [/mm] = {1,3,5,7,...} und [mm] [2]_{\sim} [/mm] = {2,4,6,...}
Aber wie geht das dann mit Buchstaben und Zahlen?
Würde mich über paar Tipps freuen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:24 Mi 04.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
es hängt alles davon ab, ob du genau verstanden hast, was eine bijektive Abbildung ist.Schon das Wort bi sagt ja fast dass das reflexiv ist. musst du also nur noch fesstellen wenn man eine bij. Abb von [mm] X_i [/mm] auf [mm] X_j [/mm] hat und eine von [mm] X_j [/mm] auf [mm] X_k [/mm] gibts dynn eine von [mm] X_i [/mm] auf [mm] X_k?
[/mm]
schon bist du fertig.
b) kannst du ne bij Abb von [mm] X_1 [/mm] auf [mm] X_2 [/mm] herstellen dann gib sie einfach an, in dem du zu jeden Element sein Bild angibst und sagst, warum das bij. ist.
Du musst einfach nur konkret die Abbildungen angeben, oder sagen, warum es keine bij. gibt.
Gruss leduart.
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