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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:12 Sa 30.06.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Sei V ein endlich-dimensionaler Euklidischer oder Unitärer Vektorraum und [mm] \varphi\in End_K(V).
[/mm]
Beweisen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen:
(i) [mm] \exists \psi\in [/mm] SA(V): [mm] \psi^2 [/mm] = [mm] \varphi [/mm] ,
(ii) [mm] \varphi\in [/mm] SA(V) und [mm] \forall x\in [/mm] V [mm] <\parphi(x), [/mm] x>=0 .
Hinweis: [mm] \psi\in [/mm] SA(V [mm] )\gdw \psi [/mm] ist selbstadjungiert. |
Ich habe hier keinen Schimmer wie ansetzen und wäre über einen Anstoß sehr dankbar
Gruß Zerwas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:38 Sa 30.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Zerwas
> Sei V ein endlich-dimensionaler Euklidischer oder Unitärer
> Vektorraum und [mm]\varphi\in End_K(V).[/mm]
> Beweisen Sie die
> Äquivalenz der folgenden Aussagen:
> (i) [mm]\exists \psi\in[/mm] SA(V): [mm]\psi^2[/mm] = [mm]\varphi[/mm] ,
> (ii) [mm]\varphi\in[/mm] SA(V) und [mm]\forall x\in[/mm] V [mm]<\varphi(x),[/mm] x>=0
> .
> Hinweis: [mm]\psi\in[/mm] SA(V [mm])\gdw \psi[/mm] ist selbstadjungiert.
> Ich habe hier keinen Schimmer wie ansetzen und wäre über
> einen Anstoß sehr dankbar
Diese Aussage ist doch falsch? Die Identitaet ist ja immer selbstadjungiert, und wenn man folglich [mm] $\psi [/mm] = [mm] \varphi [/mm] = [mm] id_V$ [/mm] nimmt, gilt zwar Bedingung (i), jedoch von Bedingung (ii) gilt nur [mm] $\varphi \in [/mm] SA(V)$, jedoch nicht [mm] $\langle \varphi(x), [/mm] x [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] x, x [mm] \rangle [/mm] = 0$ fuer alle $x [mm] \in [/mm] V$ (sondern nur fuer $x = 0$).
LG Felix
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