Äquivalenz zeigen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 Fr 26.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Seien K ein Körper,V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und [mm] U_{1},U_{2} [/mm] Unterräume von V.Man beweise,dass folgende Aussagen äquivalent sind.
1.dim [mm] V=dim(U_{1}+U_{2})=dim U_{1}+dim U_{2}
[/mm]
2. [mm] V=U_{1} \oplus U_{2} [/mm] |
Hallo zusammen^^
Um die Äquivalen der obigen Aussagen zu beweisen,muss ich das doch in beide Richtungen zeigen,also aus 1 folgt 2 und aus 2 folgt 1.
Also fang ich an mit "Aus 1 folgt 2".
Dann darf ich doch annehemn, dass [mm] dimV=dim(U_{1}+U_{2})=dimU_{1}+dim U_{2}
[/mm]
Also die direkte Summe heißt ja,dass aus [mm] U_{1} \oplus U_{2}=0 [/mm] folgt,dass [mm] U_{1}=U_{2}=0 [/mm] sind.
Ich finde hier aber überhaupt keinen Ansatz wie ich anfangen kann.
Das einzige was mir einfällt,ist damit zu beginnen,dass wenn ein Element in V liegt,man zeigt,dass es auch in [mm] U_{1} \oplus U_{2} [/mm] liegt und 1. als Voraussetzung zu nehmen,aber so doll ist das auch nicht.
Kann mir jemand helfen einen Ansatz zu finden?
Vielen Dank
lg
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Ich habe es nicht vollständig durchdacht, beim Drüberschauen kamen mir nur folgende Ideen für Ansätze:
"1 [mm] \Rightarrow [/mm] 2":
Ist das mit der "normalen" Dimensionsformel nicht sofort gezeigt? Kurz gesagt, gilt nicht unter deinen VAS immer dim(V) = [mm] dim(U_1) [/mm] + [mm] dim(U_2) [/mm] - [mm] dim(U_1 \cap U_2) [/mm] und weil die VAS von 1 bereits dim(V) = [mm] dim(U_1) [/mm] + [mm] dim(U_2) [/mm] vorgeben, muss dann nicht [mm] dim(U_1 \cap U_2) [/mm] = 0 sein und somit dies die direkte Summe?
Alternativ könnte man deinen ersten Gedanken schon versuchen, der müsste mit ein bisschen "geschicktem" Aufschreiben (unter Verwendung von Basen) auch zum Ziel führen würde ich sagen.
"2 [mm] \Rightarrow [/mm] 1":
Hier scheint man über Basen argumentieren zu können, also Basen von V, [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] nehmen und damit etwas jonglieren 
Vielleicht ist eine Anregung dabei, die dir weiterhilft
lg Martin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Fr 26.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Ich habe es nicht vollständig durchdacht, beim
> Drüberschauen kamen mir nur folgende Ideen für Ansätze:
>
> "1 [mm]\Rightarrow[/mm] 2":
> Ist das mit der "normalen" Dimensionsformel nicht sofort
> gezeigt? Kurz gesagt, gilt nicht unter deinen VAS immer
> dim(V) = [mm]dim(U_1)[/mm] + [mm]dim(U_2)[/mm] - [mm]dim(U_1 \cap U_2)[/mm] und weil
> die VAS von 1 bereits dim(V) = [mm]dim(U_1)[/mm] + [mm]dim(U_2)[/mm]
> vorgeben, muss dann nicht [mm]dim(U_1 \cap U_2)[/mm] = 0 sein und
> somit dies die direkte Summe?
Was heißt VAS?Voraussetzungen? Welche Dimensionsformel meinst du genau?
Also ich hab jetzt einen Beweis,aber ich kann den nicht ganz nachvollziehen.
"2" [mm] \Rightarrow"1":
[/mm]
[mm] V=U_{1}+U_{2} [/mm] nach Annahme.
Sei u [mm] \in U_{1} \cap U_{2}. [/mm] Dann gilt u+-u=0 (-u [mm] \in U_{2}), [/mm] weil [mm] U_{1} \cap U_{2} [/mm] ein Unterraum ist.Da [mm] V=U_{1} \oplus U_{2}, [/mm] folgt u=0.Es folgt [mm] U_{1} \cap U_{2}=\{0\}.
[/mm]
So,ich verstehe folgendes an dem Beweis nicht:
1.Wieso ist u+-u=0? Ich versteh die Begründung mit dem Unterraum nicht.
2.wir nehmen jetzt einfach im Beweis an,dass [mm] V=U_{1} \oplus U_{2} [/mm] und [mm] V=U_{1}+U_{2} [/mm] zeigen,dass daraus folgt dass die Schnittmenge von [mm] U_{1} [/mm] und [mm] U_{2} [/mm] leer ist.Aber muss man nicht annhemen,dass die Schnittmenge leer ist und [mm] V=U_{1}+U_{2} [/mm] und zeigen,dass daraus folgt,dass [mm] V=U_{1} \oplus U_{2} [/mm] ist?
"1 [mm] \Rightarrow [/mm] 2":
[mm] V=U_{1}+U_{2} [/mm] nach Annahme.
Noch zu zeigen: [mm] 0=u_{1}+u_{2} [/mm] --> [mm] u_{1}=u_{2}=0, u_{1} \in U_{1}, u_{2} \in U_{2}.
[/mm]
[mm] 0=u_{1}+u_{2} -->u_{2}=-u_{1}; [/mm] da [mm] U_{1} \subset [/mm] V ein Vektorraum, folgt [mm] u_{2} \in U_{1} \cap U_{2}.Nach [/mm] Annahme gilt [mm] u_{2}=0,also [/mm] auch [mm] u_{1}=-u_{2}=0.
[/mm]
Hier verstehe ich folgendes nicht:
1. Wieso folgt aus [mm] U_{1} \subset [/mm] V ein Vektorraum,dass [mm] u_{2} \in U_{1} \cap U_{2}? [/mm] Was ein UVR ist,weiß ich,aber ich sehe nicht,dass das folgt.
2. Und wieso gilt nach Annahme,dass [mm] u_{2}=0? [/mm] Wo steht das in der Annahme?
Wäre lieb,wenn mir das jemand erklären könnte.
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 Fr 26.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn V=U1+U2 ist welchen Vektor(en) haben sie dann gemeinsam, also was ist der durchschnitt?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:59 Sa 27.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo
> Wenn V=U1+U2 ist welchen Vektor(en) haben sie dann
> gemeinsam, also was ist der durchschnitt?
> Gruss leduart
>
Gar keine,achso, der Durchnschnitt ist dann Null ?
lg
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> > Hallo
> > Wenn V=U1+U2 ist welchen Vektor(en) haben sie dann
> > gemeinsam, also was ist der durchschnitt?
> > Gruss leduart
> >
> Gar keine,achso, der Durchnschnitt ist dann Null ?
>
> lg
>
Hallo..
ja damit hast du recht... Denn in jedem Unterraum ist per Definition die Null enthalten. Da sie sonst aber keine gemeinsamen Elemente haben, folgt das der Durchschnitt 0 ist.
LG Schmetterfee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 Sa 27.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
ok,eine Sache versteh ich immer noch nicht,wieso steht bei der 2. Richtung, dass nach Annahme [mm] u_{2}=0 [/mm] ist? Wo steht das in der Annahme?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:02 Sa 27.11.2010 | | Autor: | leduart |
In der Annahme steht doch dass [mm] u_2 [/mm] aus dem Schnitt ist und dass der nur die 0 enthält hast du doch grade selbst gesagt.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 Fr 26.11.2010 | | Autor: | OmmO |
Hallo!
Das erste Gleichzeichen besagt. dass U1+U2 = V ist, das zweite besagt dann zusammen mit der Dimensionsformel, dass der Schnitt von U1 und U2 trivial ist.
Zur Richtung Richtung (2) -> (1):
Da V direkte Summe von U1 und U2 ist, ist V insbesondere Summe von U1 und U2, daraus folgt das erste Gleichzeichen.
Durch Anwendung der Dimensionsformel folgt unter Verwendung der Tatsache, dass der Schnitt trivial ist, das zweite Gleichzeichen.
Gruß OmmO
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:51 So 28.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
hat sich erledigt
lg
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