Äquivalenz von Aussagen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:52 Fr 22.06.2007 | | Autor: | Engel205 |
Sei T: [mm] (E_{1}, \parallel [/mm] * [mm] \parallel_{E_{1}}) \to (E_{2}, \parallel [/mm] * [mm] \parallel_{E_{2}}) [/mm] eine lineare Abbildung zwischen normierten Vektorräumen und [mm] x_0 [/mm] sei aus [mm] E_{1}. [/mm] Zeige die Äquivalenz der folgenden Aussagen:
a) T ist stetig
b) T ist stetig in [mm] x_{0}
[/mm]
c) [mm] sup_{\parallel x \parallel_{E_{1} \le 1}} \parallel [/mm] T(x) [mm] \parallel_{E_{2}} [/mm] = [mm] sup_{\parallel x \parallel_{E_{1} =1}} \parallel [/mm] T(x) [mm] \parallel_{E_{2}} [/mm] < [mm] \infty
[/mm]
d) Es gibt eine Konstante C>0 mit [mm] \parallel [/mm] T(x) [mm] \parallel_{E{2}} \le [/mm] C [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{E{1}} [/mm] für alle x aus [mm] E_{1}
[/mm]
Das ist mir alles einwenig zu unklar. Wir haben dann noch als Ergänzung bekommen:
a) [mm] \Leftarrow [/mm] b)
a) [mm] \Rightarrow [/mm] c)
c) [mm] \Rightarrow [/mm] d)
d) [mm] \Rightarrow [/mm] b)
Also muss ich diese Folgerungen zeigen nicht wahr?
Nur kann mir da jemand bei helfen? Oder zumindest einen Tipp geben?
Wäre sehr lieb.
Danke schonmal für jede kommende Antwort!!!
|
|
| |
|
Hiho,
ich geb dir mal nen Hinweis zu jeder Beweisrichtung, dann versuchst du es am Besten selbst, jenachdem, wie weit du kommst.
a) [mm]\Leftarrow[/mm] b)
z.z. [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] - Kriterium gilt für alle x, d.h. finde zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] ein [mm] \delta. [/mm] Wie findest du dein [mm] \elta? [/mm] Tip: Füge nahrhafte Null ([mm]-T(x_0) + T(x_0[/mm]) in [mm]||T(x) - T(y)||[/mm] ein, nutze Dreiecksungleichung und Stetigkeit von T in [mm] x_0. [/mm]
a) [mm]\Rightarrow[/mm] c)
T ist stetig, insbesondere also in 0, betrachte [mm]|| x - 0|| \le 1[/mm]. Was sagt dir nun das [mm] \varepsilon-\delta-Kriterium?
[/mm]
c) [mm]\Rightarrow[/mm] d)
Nutze: [mm]\sup_{||x||_{E_1}=1}||T(x)||_{E_2} = \sup_{x\in E_1\setminus {0}}\bruch{||T(x)||_{E_2}}{||x||_{E_1}} = c < \infty[/mm] => Umformen
d) [mm]\Rightarrow[/mm] b)
du willst zeigen, dass T in [mm] x_0 [/mm] stetig ist, d.h. [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] - Kriterium zeigen. Wie musst du zu gegebenem [mm] \varepsilon [/mm] dein [mm] \delta [/mm] wählen (nutze die Ungleichung von d) und die Linearität von T)?
Viel Erfolg.
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Fr 22.06.2007 | | Autor: | Engel205 |
Danke das hilft mir schon sehr, ich werds jetzt mal alleine versuchen und wenn dann noch fragen kommen, dann meld ich mich nochmal ok? Könnte aber auch morgen erst sein.
Danke schonmal!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:26 So 24.06.2007 | | Autor: | Engel205 |
Zu dem ersten Teil:
Wenn ich die Dreicksungleichung verwendet hab muss ich dann nicht noch ein [mm] \delta [/mm] hin schreiben?
Also ich hab das bisher so:
[mm] \parallel [/mm] T(x) - T(y) + [mm] T(x_{0}) [/mm] - [mm] T(x_{0}) \parallel \le \parallel [/mm] T(x) - [mm] T(x_{0}) \parallel [/mm] + [mm] \parallel [/mm] -T(y) + [mm] T(x_{0}) \parallel \le \parallel [/mm] T(x) [mm] \parallel [/mm] - [mm] \parallel T(x_{0}) \parallel [/mm] + [mm] \parallel [/mm] -T(y) [mm] \parallel [/mm] + [mm] \parallel T(x_{0}) \parallel
[/mm]
Oder ist das auch schon falsch?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:57 So 24.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Du weißt, dass T in [mm] x_0 [/mm] stetig ist, also kannst du den zweiten (mittleren) Ausdruck durch ein [mm] \epsilon_{x} [/mm] und ein [mm] \epsilon_{y} [/mm] abschätzen, so dass dann [mm] |T(x)-T(y)|<\epsilon_{x}+\epsilon_{y} [/mm] für alle x, y mit
[mm] |x-x_{0}|<\delta_{x}
[/mm]
[mm] |y-x_{0}|<\delta_{y}, [/mm] oder
[mm] |x-y|=|x-x_{0}+x_{0}-y|\le |x-x_{0}|+|y-x_{0}|<\delta_{x}+\delta_{y}.
[/mm]
Gruß,
dormant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 So 24.06.2007 | | Autor: | Engel205 |
ok alles klar hab ich verstanden danke, hab sogar meinen Fehler gefunden...
Jetzt hänge ich allerdings bei dem letzten Teil der Aufgabe....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:45 So 24.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Ein kleiner Tipp: überleg dir, dass aus d) und T linear folgt, dass für alle x existiert ein c>0 mit
[mm] \parallel T(x_{0})-T(x)\parallel [/mm] <c [mm] \parallel x_{0}-x\parallel.
[/mm]
Gruß,
dormant
|
|
|
|
