äquivalentes Umformen < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:21 Di 04.11.2008 | | Autor: | TeamBob |
| Aufgabe | Beweisen Sie durch äquivalentes Umformen, dass folgende aussagenlogische Ausdrücke für beliebige
aussagenlogische Ausdrücke A, B, C und D semantisch äquivalent sind:
a) ((A _ B) ^ (C _ D)) und ¬((¬A ^ ¬B) _ (¬C ^ ¬D))
b) ((A _ B) _ (C _ D)) und (((A _ C) _ D) _ B)
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Ich habe schon probiert die ganzen Dinge hin und her umzustellen, aber ich bin nie auf die richtige Lösung gekommen das sie semantisch äquivalent sind.
Kann mir jemand helfen diese Aufgabe zu lösen. Das ist die letzte Aufgabe auf dem Arbeitsbatt und die bekomme ich nicht hin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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> Beweisen Sie durch äquivalentes Umformen, dass folgende
> aussagenlogische Ausdrücke für beliebige
> aussagenlogische Ausdrücke A, B, C und D semantisch
> äquivalent sind:
>
> a) ((A _ B) ^ (C _ D)) und ¬((¬A ^ ¬B) _ (¬C ^ ¬D))
>
> b) ((A _ B) _ (C _ D)) und (((A _ C) _ D) _ B)
>
> Ich habe schon probiert die ganzen Dinge hin und her
> umzustellen, aber ich bin nie auf die richtige Lösung
> gekommen das sie semantisch äquivalent sind.
Hallo TeamBob,
es wäre sehr nützlich, wenn du die Terme zuerst mit den
richtigen Symbolen aus dem Formeleditor
[mm] $\vee$ $\wedge$
[/mm]
\vee \wedge
schreiben würdest. Mir ist nicht klar, was du mit dem "_" meinst.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:34 Di 04.11.2008 | | Autor: | TeamBob |
Beweisen Sie durch äquivalentes Umformen, dass folgende
> aussagenlogische Ausdrücke für beliebige
> aussagenlogische Ausdrücke A, B, C und D semantisch
> äquivalent sind:
>
> a) ((A v B) ^ (C v D)) und ¬((¬A ^ ¬B) v (¬C ^ ¬D))
>
> b) ((A v B) v (C v D)) und (((A v C) v D) v B)
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> Ich habe schon probiert die ganzen Dinge hin und her
> umzustellen, aber ich bin nie auf die richtige Lösung
> gekommen das sie semantisch äquivalent sind.
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> Beweisen Sie durch äquivalentes Umformen, dass folgende
> > aussagenlogische Ausdrücke für beliebige
> > aussagenlogische Ausdrücke A, B, C und D semantisch
> > äquivalent sind:
> >
> > a) ((A v B) ^ (C v D)) und ¬((¬A ^ ¬B) v (¬C ^ ¬D))
> >
> > b) ((A v B) v (C v D)) und (((A v C) v D) v B)
Na, so geht's auch, ist insbesondere im Eingabetext angenehmer.
Es geht bei den Nachweisen eigentlich nur um eine etwas
[mm] langw\vektor{ier\\eil}ige [/mm] Aneinanderreihung elementarer Umformungsregeln
für boolesche Terme: Kommutativ-, Assoziativ-, Distributiv-
gesetze, De Morgan'sche Gesetze etc.
sieh da nach: ![[]](/images/popup.gif) Boolesche Algebra
Bei der ersten Aufgabe würde ich mal mit dem Term auf
der rechten Seite (dem mit den vielen Negationen) anfangen
und nachschauen, welche Gesetze der Liste sich eignen, um
die Negationen loszuwerden. Man sieht, dass das zweite De
Morgansche Gesetz (8') sofort eine Vereinfachung bringt.
Und dann so weiter machen !
In der zweiten Aufgabe geht es nur um die Assoziativität
und Kommutativität der Disjunktion, also um die Gesetze
(1') und (2') aus der Liste, die man allerdings recht oft
anwenden muss, um vom linken zum rechten Term
(oder umgekehrt) zu kommen.
LG
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:20 Di 04.11.2008 | | Autor: | TeamBob |
Also heißt das, dass bei der 1. auf Aufgabe
auf der rechten seite aus
¬((¬A ^ ¬B) v (¬C ^ ¬D))
das wird
((A ^ B) v [mm] ¬(C^B))
[/mm]
wird???
Ich verstehe nicht ganz die ganzen schritte die man da tun muss um auf das richtige ergebnis zu kommen. Könntest du mir da helfen, weil es scheint so als wenn du dich damit ganz gut auskennst
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¬((¬A ^ ¬B) v (¬C ^ ¬D))
zweimalige Anwendung von (8')
¬(¬(A v B) v ¬(C v D))
Anwendung von (8)
¬(¬((A v B) ^ (C v D)))
Anwendung von (7)
(A v B) ^ (C v D)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:36 Di 04.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also heißt das, dass bei der 1. auf Aufgabe
> auf der rechten seite aus
> ¬((¬A ^ ¬B) v (¬C ^ ¬D))
> das wird
> ((A ^ B) v [mm]¬(C^B))[/mm]
> wird???
>
> Ich verstehe nicht ganz die ganzen schritte die man da tun
> muss um auf das richtige ergebnis zu kommen. Könntest du
> mir da helfen, weil es scheint so als wenn du dich damit
> ganz gut auskennst
machen wir es mal Schritt für Schritt:
Gegeben ist
¬((¬A ^ ¬B) v (¬C ^ ¬D))
Das ist zunächst das gleiche wie
¬(X v Y) mit X:=¬A ^ ¬B und Y:=¬C ^ ¬D.
Nach dem Morgan gilt
¬(X v Y)=¬X ^ ¬Y, also
¬((¬A ^ ¬B) v (¬C ^ ¬D))=((¬(¬A ^ ¬B)) ^(¬(¬C ^ ¬D)))
Wieder liefert uns de Morgan:
¬(¬A ^ ¬B)= ¬(¬A) v ¬(¬B) und da allgemein ¬(¬R)=R, bedeutet das nichts anderes als
¬(¬A ^ ¬B)= ¬(¬A) v ¬(¬B)=A v B.
Analog erkennt man
¬(¬C ^ ¬D)=C v D.
Also:
¬((¬A ^ ¬B) v (¬C ^ ¬D))=((¬(¬A ^ ¬B)) ^(¬(¬C ^ ¬D)))
=(A v B) ^ (C v D).
Gruß,
Marcel
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