Äquivalente Normen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo alle zusammen,
ich habe eine Frage zu äquivalente Normen und äquivalente Metriken.
1)Ist es richtig, dass auf dem [mm] \IR^n [/mm] jede Norm äquivalent ist. Und da jeder endlich-dimensionale VR V mit dimV=n Isomorph zu [mm] \IR^n [/mm] ist, folgt, dass in jedem endlich dimensionalem VR alle normen äquivalent sind?
2)Kann man äquivalente Normen so definieren?:
[mm] d_1 [/mm] und [mm] d_2 [/mm] sind äquivalent im metrischen Raum X gdw. jede Folge [mm] (x_k) [/mm] in X bzgl. [mm] d_1 [/mm] konvergiert <-> [mm] x_k [/mm] konvergiert bzgl. [mm] d_2
[/mm]
Kann man das so stehen lassen da oben?
Danke.
|
|
| |
|
Also die 1. Frage oben hat sich erübrigt. Bei dieser kenne ich jetzt die Antwort.
Stattdessen habe ich aber eine andere.
Die [mm] l_p [/mm] Räume sind doch bzgl. der p-Normen Banachräume.
Frage:
Sind diese Räume unendlich dimensional? Wenn ja, warum?
Vielen Dank
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:27 Fr 24.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Also die 1. Frage oben hat sich erübrigt. Bei dieser kenne
> ich jetzt die Antwort.
>
> Stattdessen habe ich aber eine andere.
>
> Die [mm]l_p[/mm] Räume sind doch bzgl. der p-Normen Banachräume.
> Frage:
> Sind diese Räume unendlich dimensional? Wenn ja, warum?
Na, da haettest du auch dabeischreiben koennen was fuer dich grad genau die [mm] $l_p$-Raeume [/mm] sind  Die gibt's naemlich auch in endlichdimensionaler Form...
Normalerweise meint man aber die Raeume der unendlichen Folgen (mit bestimmten Konvergenzbedingungen). Und ja, die sind unendlichdimensional: die Folge [mm] $e_i [/mm] = (0, [mm] \dots, [/mm] 0, 1, 0, [mm] \dots)$ [/mm] mit der 1 an der $i$-ten Stelle sind linear unabhaengig, fuer $i [mm] \in \IN$. [/mm] Kann der Raum dann endlichdimensional sein?
LG Felix
|
|
|
| |
|
Ja da hast du natürlich recht, es ist mir nun klar, dass die [mm] l_p [/mm] Räume unendlich dimensional sind.(ich meinte auch die Folgenräume wie du sie beschrieben hast).
Nur stellt sich mir nun das Problem, weshalb ich eigentlich interessiert bin:
Da alle [mm] l_p [/mm] Räume Unendlich dimensionale normierte Vektorräume sind, so muss es doch wenigstens zwei nicht-äquivalente Normen geben oder?
Jedoch finde ich für den [mm] l_1 [/mm] Raum keine nicht-äquivalente Normen.
Da in diesem Raum alle p-Normen äquivalent sind, so muss es eine andere Norm geben, die nicht äquivalent zu der p-1 Norm ist.
Kennt jemand solch eine Norm?
Vielen Dank
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:45 Sa 25.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Nur stellt sich mir nun das Problem, weshalb ich eigentlich
> interessiert bin:
>
> Da alle [mm]l_p[/mm] Räume Unendlich dimensionale normierte
> Vektorräume sind, so muss es doch wenigstens zwei
> nicht-äquivalente Normen geben oder?
Wieso muss es das? Nur weil es im endlichdimensionalen nur eine Aequivalenzklasse gibt, folgt daraus nicht dass es im unendlichdimensionalen mehrere gibt. (Ist allerdings schon so )
> Jedoch finde ich für den [mm]l_1[/mm] Raum keine nicht-äquivalente
> Normen.
> Da in diesem Raum alle p-Normen äquivalent sind, so muss
> es eine andere Norm geben, die nicht äquivalent zu der p-1
> Norm ist.
Auf [mm] $l_1$ [/mm] sind die $p$-Normen im Allgemeinen gar nicht definiert! Es gilt [mm] $l_p \subsetneqq l_q$ [/mm] wenn $p > q$ ist, womit es Elemente aus [mm] $l_q$ [/mm] gibt fuer die die [mm] $l_p$-Norm [/mm] unendlich ist.
Allerdings kannst du z.B. [mm] $l_2$ [/mm] auch mit der [mm] $l_1$-Norm [/mm] ausstatten (da [mm] $l_2$ [/mm] eine Teilmenge von [mm] $l_1$ [/mm] ist), womit du dort zwei verscihedene Normen hast. Aber sind diese aequivalent, oder nicht?
Sei zu $n [mm] \in \IN$ $(a_i^{(n)})_{i\in\IN}$ [/mm] die Folge, die ueberall 0 ist ausser an den Folgengliedern $n + 1, [mm] \dots, [/mm] 2 n$, wo sie den Wert [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] hat. Dann gilt [mm] $\| (a_i^{(n)})_{i\in\IN} \|_1 [/mm] = 1$ fure alle $n [mm] \in \IN$. [/mm] Es gilt jedoch [mm] $\| (a_i^{(n)})_{i\in\IN} \|_2 \le [/mm] n [mm] \cdot \frac{1}{n^2} [/mm] = [mm] \frac{1}{n}$, [/mm] womit $( [mm] (a_i^{(n)})_{i\in\IN} )_{n\in\IN}$ [/mm] eine Nullfolge bzgl. der [mm] $l_2$-Norm [/mm] ist, aber nicht bzgl. der [mm] $l_2$-Norm.
[/mm]
Damit sind die Normen nicht aequivalent!
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 Fr 24.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ich habe eine Frage zu äquivalente Normen und äquivalente
> Metriken.
>
> 1)Ist es richtig, dass auf dem [mm]\IR^n[/mm] jede Norm äquivalent
> ist. Und da jeder endlich-dimensionale VR V mit dimV=n
> Isomorph zu [mm]\IR^n[/mm] ist, folgt, dass in jedem endlich
> dimensionalem VR alle normen äquivalent sind?
Ja, dem ist so.
> 2)Kann man äquivalente Normen so definieren?:
> [mm]d_1[/mm] und [mm]d_2[/mm] sind äquivalent im metrischen Raum X gdw.
> jede Folge [mm](x_k)[/mm] in X bzgl. [mm]d_1[/mm] konvergiert <-> [mm]x_k[/mm]
> konvergiert bzgl. [mm]d_2[/mm]
Ja, das kann man so definieren. Das ist naemlich aequivalent zu: eine Menge ist bzgl. [mm] $d_1$ [/mm] genau dann offen, wenn sie bzgl. [mm] $d_2$ [/mm] offen ist. (Das geht ganz einfach.)
LG Felix
|
|
|
|
