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Hi,
folgende Mengenäquivalenz soll bewiesen werden:
A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset \gdw [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] X \ B
Ich habe ein Lösung aber die ist etwas anders als ich es machen würde. So war mein erster Versuch:
A [mm] \subseteq [/mm] X \ B = A [mm] \subseteq [/mm] (X [mm] \cap \overline{B} [/mm] )
Sei X [mm] \in [/mm] A => x [mm] \in [/mm] X, da A [mm] \subseteq [/mm] X und
x [mm] \in \overline{B}, [/mm] bzw. x [mm] \not\in [/mm] B
=> x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \not\in [/mm] B
=> keine gemeinsame Menge (leere Menge)
=> A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset
[/mm]
Kann man es so machen?
Gruß
Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:14 Di 21.12.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Andreas!
> Hi,
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> folgende Mengenäquivalenz soll bewiesen werden:
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> A [mm]\cap[/mm] B = [mm]\emptyset \gdw[/mm] A [mm]\subseteq[/mm] X \ B
>
> Ich habe ein Lösung aber die ist etwas anders als ich es
> machen würde. So war mein erster Versuch:
>
> A [mm]\subseteq[/mm] X \ B = A [mm]\subseteq[/mm] (X [mm]\cap \overline{B}[/mm] )
Wie ist denn das rote Gleichheitszeichen hier:
A [mm]\subseteq[/mm] X \ B [mm] \red{=} [/mm] A [mm]\subseteq[/mm] (X [mm]\cap \overline{B}[/mm] )
zu verstehen? Das verstehe ich nicht!
(Ersetze es lieber durch ein [mm] $\gdw$-Zeichen!)
[/mm]
> Sei X [mm]\in[/mm] A => x [mm]\in[/mm] X, da A [mm]\subseteq[/mm] X und
> x [mm]\in \overline{B},[/mm] bzw. x [mm]\not\in[/mm] B
>
> => x [mm]\in[/mm] A und x [mm]\not\in[/mm] B
> => keine gemeinsame Menge (leere Menge)
> => A [mm]\cap[/mm] B = [mm]\emptyset
[/mm]
>
> Kann man es so machen?
Ich glaube nicht. Zunächst einmal machst du nur Folgerungen in eine Richtung, und außerdem sehe ich irgendwie gar nicht, was du eigentlich zeigst. ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Vielleicht kannst du das nochmal genauer erläutern, vielleicht stehe ich ja gerade nur auf dem Schlauch...
(Nachtrag: Okay, mittlerweile denke ich, du hast gezeigt, dass aus $A [mm] \subseteq [/mm] X [mm] \setminus [/mm] B$ folgt, dass dann $A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset$ [/mm] gilt. Das ist aber nur eine Richtung des Beweises. Außerdem mußt du aufpassen, wann du (das Element) $x$ meinst und wann du (die Menge) $X$ meinst. Ist aber nur einmal vorgekommen (direkt am Anfang), und vermutlich hast du dich dort einfach nur vertippt. Sicherheitshalber erwähne ich es trotzdem.  )
Du hast doch die Aufgabe:
[mm] A \cap B = \emptyset[/mm] [mm] $\gdw$[/mm] [mm]A \subseteq X \setminus B[/mm]
nachzuweisen (ich nehme auch einfach mal an, dass $ A,B [mm] \subseteq [/mm] X $ gelte). Das geht in zwei Schritten:
1.) Die Hinrichtung (dabei wird aber niemand hingerichtet )
[mm] "$\Rightarrow$"
[/mm]
Voraussetzung bei dieser Richtung:
Es gelte $A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset$.
[/mm]
Zu zeigen ist nun, dass dann auch $A [mm] \subseteq [/mm] X [mm] \setminus [/mm] B$ gilt.
Beweis dazu:
Es sei $x [mm] \in [/mm] A$ beliebig, aber fest. Wegen $A [mm] \cap B=\emptyset$ [/mm] gilt dann [m]x \notin B[/m], also gilt [m]x \in (A \cap \overline{B}) \subseteq (X \cap \overline{B})=X \setminus B[/m], also $x [mm] \in [/mm] X [mm] \setminus [/mm] B$.
(Hierbei ist [mm] $\overline{B}=X \setminus [/mm] B$).
Da $x [mm] \in [/mm] A$ beliebig war, folgt daraus $A [mm] \subseteq [/mm] X [mm] \setminus [/mm] B$.
2.) Nun die Rückrichtung:
[mm] "$\Leftarrow$"
[/mm]
Bei dieser Richtung wird vorausgesetzt, dass [mm]A \subseteq X \setminus B[/mm] gelte.
Wir haben nun zu zeigen, dass dann $A [mm] \cap B=\emptyset$ [/mm] gilt.
Beweis dazu:
Annahme: $A [mm] \cap [/mm] B [mm] \not=\emptyset$. [/mm] Dann gibt es ein $x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B)$. Daraus folgt dann:
$x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \underbrace{\subseteq}_{da\;A \subseteq X \setminus B} [/mm] (X [mm] \setminus [/mm] B) [mm] \cap B=\emptyset$, [/mm] also $x [mm] \in \emptyset$.
[/mm]
Widerspruch! [mm] $\hspace{6cm} \Box$
[/mm]
Viele Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:48 Mi 22.12.2004 | | Autor: | andreas99 |
Hi,
> 2.) Nun die Rückrichtung:
Mittlerweile hab ich geschallt wie die Aufgabe wirklich gemeint ist. Dummerweise hab ich gedacht es würde reichen einen Teil davon, den ich nicht verstanden hatte, hier einzustellen. Leider war das ein Fehler. Die Aufgabe heißt ganz:
[mm]A \cap B = \emptyset[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]A \subseteq X \setminus B[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]B \subseteq X \setminus A[/mm]
Nun hab ich auch verstanden was mit "Ringschluss" in der Aufgabe gemeint ist. Man soll zeigen:
1. Teil [mm]\Rightarrow[/mm] 2. Teil [mm]\Rightarrow[/mm] 3. Teil [mm]\Rightarrow[/mm] 1. Teil
Also nochmal sorry für die falsche Beschreibung. Ich werde mir merken das nächste mal wirklich die exakte Aufgabenbeschreibung abzuschreiben.
Gruß und Danke
Andreas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:27 Mi 22.12.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Andreas,
> Hi,
>
> > 2.) Nun die Rückrichtung:
>
> Mittlerweile hab ich geschallt wie die Aufgabe wirklich
> gemeint ist. Dummerweise hab ich gedacht es würde reichen
> einen Teil davon, den ich nicht verstanden hatte, hier
> einzustellen. Leider war das ein Fehler. Die Aufgabe heißt
> ganz:
>
> [mm]A \cap B = \emptyset[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]A \subseteq X \setminus B[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]B \subseteq X \setminus A[/mm]
Aha! 
>
> Nun hab ich auch verstanden was mit "Ringschluss" in der
> Aufgabe gemeint ist. Man soll zeigen:
>
> 1. Teil [mm]\Rightarrow[/mm] 2. Teil [mm]\Rightarrow[/mm] 3. Teil [mm]\Rightarrow[/mm]
> 1. Teil
Genau. Das ist der Ringschluß (bei drei Aussagen). Vor allem solltest du dir das Prinzip merken, wenn du die Äquivalenz von noch mehreren Aussagen beweisen willst. Stell dir mal vor, du wolltest/solltest/müßtest die Äquivalenz von fünf oder gar zehn Aussagen beweisen; da ist der Ringschluß doch elegant. Manchmal sollte man aber manchmal die Aussagen evtl. etwas umsortieren.
> Also nochmal sorry für die falsche Beschreibung. Ich werde
> mir merken das nächste mal wirklich die exakte
> Aufgabenbeschreibung abzuschreiben.
Na, das war hier ja nicht so tragisch. Aber es wirklich am besten, wenn man die Aufgabe möglichst wortgetreu wiedergibt.
> Gruß und Danke
Gern geschehen!
Ach, bevor ich es vergesse: Du hast aber jetzt keine Probleme mehr mit dieser Aufgabe? Ansonsten hättest du ja eine Frage geschickt, oder?
Viele Grüße,
Marcel
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