Äqu. zu pos definiter Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:17 So 01.03.2009 | | Autor: | verena87 |
| Aufgabe | a) Sei A [mm] \in [/mm] M [mm] (nxn,\IR). [/mm] Zeige die Äquivalenz der folgenden Aussagen:
i. A ist positiv definit
ii. Es gibt eine Matrix B mit B [mm] \not= [/mm] 0 und [mm] A=B^T [/mm] B
b)Sei nun A [mm] \in [/mm] M [mm] (nxn,\IC). [/mm] Zeige, dass B:=A* A hermitesch ist und alle Eigenwerte von B reell und [mm] \ge [/mm] 0 sind. |
zu a) Wie zeige ich die Äquivalenz?
Also ich hatte mal so angefangen:
A ist positiv definit [mm] \gdw [/mm] A hat nur positive Eigenwerte [mm] \gdw [/mm] ??? ... [mm] \gdw [/mm] A ist diagonalisierbar [mm] \Leftarrow [/mm] A ist symmetrisch [mm] \gdw A=B^t [/mm] B
zu b) Habe ich leider gar keine Idee.
Würde mich über jede Hilfe freuen.
Danke.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Ihr habt doch sicher auch schon
[mm] x^{T}*A*x [/mm] > 0
für alle [mm] x\in\IR^{n} [/mm] als Definition für positive Definitheit von A gehabt? Damit kannst du es ja auch mal versuchen...
Grüße, Stefan
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:12 So 01.03.2009 | | Autor: | verena87 |
Danke, aber weiß trotzdem noch nicht weiter.
Ich könnte noch folgern, dass die Diagonalelemente von A auch alle positiv sind und dass A invertierbar also det A [mm] \not= [/mm] 0.
Kann ich davon irgendwas verwenden?
Ist denn der Ansatz von hinten irgendwie weiterverwendbar?
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> a) Sei A [mm]\in[/mm] M [mm](nxn,\IR).[/mm] Zeige die Äquivalenz der
> folgenden Aussagen:
> i. A ist positiv definit
> ii. Es gibt eine Matrix B mit B [mm]\not=[/mm] 0 und [mm]A=B^T[/mm] B
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich glaube nicht, daß Du die Aussage wirst zeigen können, denn sie gilt nur für symmetrische Matrizen...
Falls Du aber verheimlicht hast, daß A als symmetrisch vorausgesetzt ist, kannst Du die Argumentation mit den pos. Eigenwerten verwenden.
Verwende zusätzlich, daß Aorthogonal diagonalisierbar ist, und dann überlege Dir noch, wie Du die Diagonalmatrix geschickt als produkt schreiben kannst, so daß alles schön paßt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Mo 02.03.2009 | | Autor: | verena87 |
Die Aufgabe ist aus einer alten Klausur und Symmetrie ist für A nicht vorgegeben.
Ich fasse mal zusammen, was ich weiß. Vielleicht bekomme ich noch einen Tipp
[mm] A=B^T*B [/mm] mit [mm] B\not= [/mm] 0
[mm] \Rightarrow [/mm] A ist symmetrisch und [mm] A=A^T [/mm] und die Diagonaleinträge von A sind > 0
[mm] \Rightarrow [/mm] A ist diagonalisierbar mit D= [mm] S^T [/mm] *A*S, wobei S aus orthogonalen Eigenvektoren von A besteht und [mm] S^T =S^{-1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] ???
[mm] \Rightarrow [/mm] A hat nur positive Eigenwerte bzw. x^TAx>0
[mm] \Rightarrow [/mm] A ist positiv definit
Viele Grüße
Verena
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> Die Aufgabe ist aus einer alten Klausur und Symmetrie ist
> für A nicht vorgegeben.
Hallo,
dann kann die zu zeigende Äquivalenz
A pos. definit <==> [mm] A=BB^t [/mm] mit [mm] B\not=0 [/mm]
nicht stimmen:
denn dann müßte die positiv definite Matrix [mm] \pmat{1&1\\-1&1} [/mm] symmetrisch sein, und das ist sie offensichtlich nicht,
ebenso wie [mm] \pmat{4&1\\0&4}.
[/mm]
Die Lösung dieses Widerspruchs könnte darin liegen, daß Ihr die Definitheit überhaupt nur für symmetrische Matrizen erklärt habt.
Vielleicht schlägst Du mal deswegen nach.
Mit der normalen Def. "A p os. definit <==> x^tAx>0 für alle x" gilt die Aussage jedenfalls nicht.
Falls ihr jetzt die Definitheit nur für symmetrische Matrizen betrachtet, dann habe ich Dir
A pos. definit ==> A=B^tB ja im ersten Post schon angedeutet.
Die Rückrichtung versuch dann mal so:
[mm] A=B^T*B.
[/mm]
Da A symmetrisch ist, ist A orthogonal diagonalisierbar, dh. A= ...
Zeige dann, daß die Eigenwerte positiv sein müssen.
Gruß v. Angela
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