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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:49 Fr 14.04.2006 | | Autor: | neli |
| Aufgabe | | Zwei 3 [mm] \times [/mm] 3 Matrizen sind genau dann zueiander ähnlich, wenn sie gleiches Minimalpolynom und characteristisches Polynom haben. |
Also die Richtung [mm] \Rightarrow [/mm] brauche ich glaube ich nicht zeigen, dass hatten wir in der Vorlesung bei der Rückrichtung habe ich mir auch ein paar Gedanken gemacht aber ich zweifel, ob die wirklich richtig sind, da ich nicht brauche, dass es 3 [mm] \times [/mm] 3 Matrizen sind
Meine Überlegung lautet:
A ist ähnlich zu einer rationalen Normalform R = [mm] \pmat{ B(P_1) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & B(P_2) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & 0 & B(P_r) }
[/mm]
mit [mm] P_1 [/mm] = [mm] \mu_A [/mm] (Minimal Polynom von A) und [mm] \produkt_{i=1}^{3}P_i [/mm] = charact. Polynom von A
und A´ist ähnlich zu einer rationalen Normalform
R´= [mm] \pmat{ B(Q_1) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & B(Q_2) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & 0 & B(Q_r) }
[/mm]
mit [mm] Q_1 [/mm] = Minimalpolynom von A´und [mm] \produkt_{i=1}^{3}Q_i [/mm] = Charact.polynom von A´
[mm] \Rightarrow [/mm] R und R´sind bis auf die Reihenfolge der [mm] P_i [/mm] und [mm] Q_i [/mm] gleich
[mm] \Rightarrow [/mm] R ist ähnlich zu R´
[mm] \Rightarrow [/mm] R = R`
[mm] \Rightarrow [/mm] A ähnlich zu A`
Kann ich das so machen?
irgendwie traue ich dem nicht
habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:09 Fr 14.04.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
du kannst deine Fragen auch nachträglich editieren - du musst nicht immer neue Fragen stellen, wo nur minimal etwas geändert wurde !
(einfach auf deine Frage gehen und darunter befinden sich dann Buttons, wo steht, dass du die frage zum Beispiel noch bearbeiten willst oder so)
Ich habe die anderen Versionen mal gelöscht - wenn du mit dieser hier unzufrieden bist, bitte DIESE frage editieren..
viele Grüße
DaMenge
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:12 Fr 14.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo neli!
> Zwei 3 [mm]\times[/mm] 3 Matrizen sind genau dann zueiander ähnlich,
> wenn sie gleiches Minimalpolynom und characteristisches
> Polynom haben.
> Also die Richtung [mm]\Rightarrow[/mm] brauche ich glaube ich nicht
> zeigen, dass hatten wir in der Vorlesung bei der
> Rückrichtung habe ich mir auch ein paar Gedanken gemacht
> aber ich zweifel, ob die wirklich richtig sind, da ich
> nicht brauche, dass es 3 [mm]\times[/mm] 3 Matrizen sind
> Meine Überlegung lautet:
>
> A ist ähnlich zu einer rationalen Normalform R = [mm]\pmat{ B(P_1) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & B(P_2) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & 0 & B(P_r) }[/mm]
>
> mit [mm]P_1[/mm] = [mm]\mu_A[/mm] (Minimal Polynom von A) und
> [mm]\produkt_{i=1}^{3}P_i[/mm] = charact. Polynom von A
>
> und A´ist ähnlich zu einer rationalen Normalform
> R´= [mm]\pmat{ B(Q_1) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & B(Q_2) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & 0 & B(Q_r) }[/mm]
>
> mit [mm]Q_1[/mm] = Minimalpolynom von A´und [mm]\produkt_{i=1}^{3}Q_i[/mm] =
> Charact.polynom von A´
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] R und R´sind bis auf die Reihenfolge der [mm]P_i[/mm] und [mm]Q_i[/mm] gleich
Warum sollte das gelten? Das musst du noch zeigen. Und dazu brauchst du dann auch, dass es $3 [mm] \times [/mm] 3$-Matrizen sind...
> [mm]\Rightarrow[/mm] R ist ähnlich zu R´
> [mm]\Rightarrow[/mm] R = R'
> [mm]\Rightarrow[/mm] A ähnlich zu A'
>
> Kann ich das so machen?
Bis auf den einen Schritt ja.
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:54 Fr 14.04.2006 | | Autor: | neli |
Bei 3 [mm] \times [/mm] 3 müssten die doch sogar direkt gleich sein oder nicht?
Also die Begletimatrix-Blöcke auch in der selben Reihenfolge sein.
Habe mir das so überlegt, dass man das Characteristischepolynom
einer 3 [mm] \times [/mm] 3 Matrix in höchstens 3 irreduzible Polynome [mm] P_1,P_2,P_3 [/mm] teilen kann.
Da das Chrackteristische Polynom von A = dem von A´ist lässt sich das von A´in die gleichen irreduziblen Polynome [mm] Q_1,Q_2,Q_3 [/mm] teilen.
für den fall, [mm] P_1 \not= P_2 \not= P_3 [/mm]
ist [mm] \mu_A [/mm] = [mm] P_1P_2P_3 [/mm] und die Matrizen bestehen beide nur aus dem einen Block [mm] B(P_1P_2P_3) [/mm] nzw [mm] B(Q_1Q_2Q_3) [/mm]
Wenn [mm] P_1 [/mm] gleich [mm] P_2 [/mm]
ist [mm] \mu_A [/mm] entweder wie oben oder [mm] \mu_A [/mm] = [mm] P_1P_3 [/mm]
dann wäre R= [mm] \pmat{ B(P_1P_3) & 0 \\ 0 & B(P_2) } [/mm] = [mm] \pmat{ B(Q_1Q_3) & 0 \\ 0 & B(Q_2) } [/mm] = R´
Wenn [mm] p_1=P_2=P_3 [/mm]
ist [mm] \mu_A [/mm] entweder wie in einem der Fälle oben oder [mm] \mu_A [/mm] = [mm] P_1
[/mm]
dann ist R= [mm] \pmat{ B(P_1) & 0 & 0 \\ 0 & B(P_2) & 0 \\ 0 & 0 & B(P_3) } [/mm] = [mm] \pmat{ B(Q_1) & 0 & 0 \\ 0 & B(Q_3) & 0 \\ 0 & 0 & B(Q_2) } [/mm] = R´
hier macht die Reihenfolge der [mm] P_i [/mm] oder [mm] Q_i [/mm] aber nichts mehr aus, da sie eh gleich sind
aber im allgemeinen Fall müssten doch auch bei höheren Matrizen die gleichen [mm] P_i [/mm] auftauchen es könnten halt nur die Blöcke in unterschiedlicher Reihenfolge auftreten aber die Zerlegung des Characteristischenpolynoms in die irreduzieblen Polynome ist doch eindeutig wie sollen dann bei der einen andere Begleitmatrizen auftauchen als bei der anderen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:16 Fr 14.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo neli!
Koenntest du schreiben, wie bei euch die rationale Normalform genau definiert ist? Also was die Polynome [mm] $P_i$ [/mm] (in der Normalform) genau sind und welche Relationen zwischen ihnen gelten?
Zu deiner Aufgabe: Mach doch mal eine Fallunterscheidung nach dem Grad des Minimalpolynoms; wenn er 2 oder 3 ist, ist die Aufgabe einfach. Und wenn er 1 ist, dann kannst du das charakteristische Polynom durch das Minimalpolynom ausdruecken (weisst du wie?) und dann sollte es auch nicht mehr schwer sein... (Je nachdem wie die Normalform jetzt genau bei euch definiert ist...)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:50 So 16.04.2006 | | Autor: | neli |
Erst einmal unsere Definition:
Eine rationale Normalform ist eine Blockdiagonalmatrix der Form
[mm] \pmat{ b(P_1) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & B(P_2) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & 0 & B(P_r) } [/mm] mit lauter Begleitmatrizen [mm] B(P_i) [/mm] auf der Hauptdiagolaneln, wobei [mm] P_{i+1} [/mm] | P _i i = r-1,...,1
außerdem haben wir später bemerkt, dass [mm] \mu_R [/mm] = [mm] P_1 [/mm] und [mm] X_R [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{r}P_i [/mm]
wobei R die rationale Normalform ist und [mm] \mu_R [/mm] das Minimalpolynom und [mm] X_R [/mm] das Characteristische Polynom
Wenn das Minimalpolynom grad 1 hat, dann müsste das Characteristische doch einfach das Minimalpolynom hoch 3 sein oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Do 20.04.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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