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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für gegebenes n [mm] \in \IN, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1, die durch
R:={(a,b) [mm] \in \IZ \times \IZ: [/mm] n teilt a-b}
gegebene Relation auf [mm] \IZ \times \IZ [/mm] eine Äquivalenzrelation definiert. |
Hallo Matheraum,
bei diese Aufgabe konnte ich bereits die Reflexivität und die Symmetrie zeigen, die für die Äquivalenzrelation notwendigerweise vorhanden sein müssen. Allerdings ist mir nicht klar wie ich die Transitivität zeigen soll.
Wenn man sich ein Beispiel hernimmt erscheint es logisch. Allerdings sind Beispiele nicht als Begründung zugelassen, es sei denn es wären Beispiele, die dies widerlegen.
Durch eine Nachfolgeaufgabe wird deutlich, dass es sehr wahrscheinlich eine Äquivalenzrelation sein muss, da man da die Äquivalenzklassen dieser bestimmen soll.
Kann mir hier bitte jemand weiterhelfen? Ich würde mich sehr freuen.
LG
Cherrykiss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:46 Do 10.02.2011 | | Autor: | Lippel |
Nabend,
> bei diese Aufgabe konnte ich bereits die Reflexivität und
> die Symmetrie zeigen, die für die Äquivalenzrelation
> notwendigerweise vorhanden sein müssen. Allerdings ist mir
> nicht klar wie ich die Transitivität zeigen soll.
>
> Wenn man sich ein Beispiel hernimmt erscheint es logisch.
> Allerdings sind Beispiele nicht als Begründung zugelassen,
> es sei denn es wären Beispiele, die dies widerlegen.
>
> Durch eine Nachfolgeaufgabe wird deutlich, dass es sehr
> wahrscheinlich eine Äquivalenzrelation sein muss, da man
> da die Äquivalenzklassen dieser bestimmen soll.
>
> Kann mir hier bitte jemand weiterhelfen? Ich würde mich
> sehr freuen.
Also, wir betrachten $a, b, c [mm] \in \IZ, [/mm] (a,b), (b,c) [mm] \in [/mm] R$. Nun ist zu zeigen: $(a,c) [mm] \in [/mm] R$:
Wir wissen wegen $(a,b), (b,c) [mm] \in [/mm] R [mm] \Rightarrow [/mm] n [mm] \:|\: [/mm] a-b$ und $n [mm] \:|\: [/mm] b-c$.
Es gilt: $a-c = a+(-b+b)+c = (a-b)+(b-c)$.
Da [mm] $n\$ [/mm] beide Summanden auf der rechten Seite teilt, teilt [mm] $n\:$ [/mm] auch die Summe und damit [mm] $a-c\:$. [/mm] Also ist $(a,c) [mm] \in [/mm] R$.
LG Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:25 Fr 11.02.2011 | | Autor: | Cherrykiss |
Vielen Danke, das leuchtet mir ein ;)
LG
Cherrykiss
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