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| Aufgabe | Die Aussagen vom Buch und Skript weichen formal voneinander ab. Man beweise, dass die beiden Versionen äquivalent sind.
Wir haben folgenden Beweis:
Sei < , >: V [mm] \times [/mm] V [mm] \to \IK [/mm] eine nichtausgeartete sBF bzw. HF eines endliche dimensionalen [mm] \IK-Vektorraums [/mm] V.
(i) Die Abbildung [mm] ^{\*}:End_{\IK} [/mm] (V) [mm] \to End_{\IK} [/mm] (V), ist semi-linear, dh linear in der Addition aber nur fast in der Multiplikation.
[mm] (\phi_{1}+ \phi_{2})^{\*}= \phi_{1}^{\*}+ \phi_{2}^{\*} [/mm] aber [mm] (\alpha \phi)^{\*} =\overline{\alpha} \phi^{\*}
[/mm]
Weiter gilt [mm] id^{\*}= [/mm] id sowie [mm] \phi^{\*\*}= \phi [/mm] für alle [mm] \phi \in End_{\IK} [/mm] (V)
(ii) Es gilt ker [mm] \phi^{\*}= [/mm] (im [mm] \phi )^{\perp} [/mm] und im [mm] \phi^{\*} [/mm] = (ker [mm] \phi)^{\perp} [/mm] für alle [mm] \phi \in End_{\IK} [/mm] (V)
Nun steht im Buch aber:
Es gilt ker [mm] \phi^{\*}= [/mm] (im [mm] \phi )^{\perp} [/mm] und ker [mm] \phi [/mm] = (im [mm] \phi^{\*})^{\perp} [/mm] für alle [mm] \phi \in End_{\IK} [/mm] (V) |
hallo.
Mir macht die Aufgabe etwas Probleme im Prinzip muss ich ja nur zeigen, dass im [mm] \phi^{\*} [/mm] = (ker [mm] \phi)^{\perp}\gdw [/mm] ker [mm] \phi [/mm] = (im [mm] \phi^{\*})^{\perp} [/mm] oder?
ich habe es dann versucht und zwar haben wir ein Korollar das besagt
Dass für einen Untervektorraum W: V= W [mm] \oplus W\perp
[/mm]
Das würde ja bedeuten
V= ker [mm] \phi \oplus [/mm] (ker [mm] \phi)^{\perp} [/mm] und
V= im [mm] \phi \oplus [/mm] (im [mm] \phi)^{\perp}
[/mm]
Sei nun ker [mm] \phi [/mm] = (im [mm] \phi^{\*})^{\perp}
[/mm]
Dann folgt V= (im [mm] \phi^{\*})^{\perp} \oplus [/mm] (ker [mm] \phi)^{\perp}
[/mm]
und V= im [mm] \phi^{\*} \oplus [/mm] (im [mm] \phi^{\*})^{\perp}
[/mm]
Also:
(im [mm] \phi^{\*})^{\perp} \oplus [/mm] (ker [mm] \phi)^{\perp}=im \phi^{\*} \oplus [/mm] (im [mm] \phi^{\*})^{\perp}
[/mm]
Daraus folgt bereits: (ker [mm] \phi)^{\perp}= [/mm] im [mm] \phi^{\*}
[/mm]
Geht das so?..aber mein problem liegt jetzt bei der Rückrichtung wie zeige ich die denn?..die kann ich ja nicht genauso machen sonst wäre das doch ein ringschluss oder?...wäre es auch ein ringschluss wenn ich die Rückrichtung vom Prinzip her genauso lösen würde nur das ich dafür ein weiteren ausspruch des Korollars nutze nämlich das [mm] dim_{K} W^{\perp}= dim_{K} [/mm] V- [mm] dim_{K} [/mm] W?
Lg Schmetterfee
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$dim [mm] (Bld(f^\star))=dim (Ker(f)^\perp)\gdw [/mm] dim(Ker(f))=dim [mm] (Bld(f^\star)^\perp)$
[/mm]
Ich endlich dimensionalen Fall reicht das über die Dimension zu zeigen. Hier darfts du auch einfach addieren, da es eine Direkte Summe ist.
Dann ist aber:
[mm] $dim(Ker(f))=dim(V)-dim(Ker(f)^\perp)=dim(V)-dim (Bld(f^\star))=dim (Bld(f^\star)^\perp)
[/mm]
$dim [mm] (Bld(f^\star)^\perp)=\ldots$
[/mm]
...
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> [mm]dim (Bld(f^\star))=dim (Ker(f)^\perp)\gdw dim(Ker(f))=dim (Bld(f^\star)^\perp)[/mm]
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> Ich endlich dimensionalen Fall reicht das über die
> Dimension zu zeigen. Hier darfts du auch einfach addieren,
> da es eine Direkte Summe ist.
> Dann ist aber:
> [mm]$dim(Ker(f))=dim(V)-dim(Ker(f)^\perp)=dim(V)-dim (Bld(f^\star))=dim (Bld(f^\star)^\perp)[/mm]
>
> [mm]dim (Bld(f^\star)^\perp)=\ldots[/mm]
> ...
ja aber so rechne ich doch nur die linke und die rechte seite nach aber zeig doch nicht das das äquivalent zu einander ist oder sehe ich das falsch?
oder kann ich daraus das die dimensionen gleich sind einfach auch folgen dass ker [mm] \phi [/mm] = (im [mm] \phi ^{\*})^{\perp}?
[/mm]
Lg Schmetterfee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:54 Mi 23.06.2010 | | Autor: | wieschoo |
Sorry war voreilig wg Dimension. Aber hab ein Script, indem es drin steht:
http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/lina02/l3.5.pdf
Seite 106/107 dürfte dich interessieren.
Ist eigentlich schön gemacht.
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> Sorry war voreilig wg Dimension. Aber hab ein Script, indem
> es drin steht:
> http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/lina02/l3.5.pdf
> Seite 106/107 dürfte dich interessieren.
> Ist eigentlich schön gemacht.
Ja aber da wird doch auch nur wieder die linke Seite und die rechte Seite bewiesen aber nicht mein eigentliches Problem nämlich das die beiden äquivalent sind...
kann ich es dann nicht einfach zeigen in dem ich jetzt sag, dass V= ker [mm] \phi \oplus (\ker \phi)^{\perp} [/mm] und W= im [mm] \phi^{\*} \oplus [/mm] (im [mm] \phi^{\*})^{\perp}
[/mm]
und nun in der einen richtung annehm im [mm] \phi^{\*}= [/mm] (ker [mm] \phi)^{\perp}
[/mm]
das dann nachrechne und für die andere Bedingung ker [mm] \phi [/mm] = (im [mm] \phi^{\*})^{\perp} [/mm] als annahme und das denn einfach mit der Formel ausrechne oder mache ich mir das zu einfach?
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:21 Sa 26.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Fr 25.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:16 Do 24.06.2010 | | Autor: | wieschoo |
Das mit der Dimension ist erst einmal hilfreich, da brauch nämlich nur zwei statt vier Aussagen zu zeigen.
Allerding stehe ich selbst ein wenig jetzt auf dem Schlauch. Mich stört noch ein wenig bei deiner Aussage
[mm] $V=Bld(f)^\perp \oplus [/mm] Bld(f)$
Natürlich gilt $dim V= [mm] dim(Bld(f)^\perp) \oplus [/mm] dim(Bld(f))$.
Aber laut Definition ist ja
[mm] $Bld(f)^\perp :=\{\lambda \in \red{V^\star} :\lambda|Bld(f) = 0\}$
[/mm]
$Bld(f) := [mm] \{ v \in \red{V} : \exists u \in V: f(u)=v\}$
[/mm]
Damit sind das ja zwei völlig verschiedene Dinge.
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