abzählbar viele Unstetigkeiten < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei f: [mm] [a,b]\to\IR [/mm] eine Funktion. Für alle [mm] x_0\in[a,b] [/mm] existiere [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0}f(x). [/mm] Zu zeigen: Es gibt höchstens abzählbar viele [mm] x\in[a,b], [/mm] in denen f unstetig ist. |
Hallo zusammen!
zum Verständnis der Aufgabe: Also f ist eine Funktion im Intervall a bis b, und für alle [mm] x_0 [/mm] aus diesem Intervall existiert der genannte Grenzwert. ich soll zeigen, dass der links- und rechtsseitige Grenzwert sich höchstens in abzählbar vielen Stellen unterscheiden?
Wie mach ich das denn?
Ich habe schon eine Lösung für die Aufgabe angeschaut http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf Satz 12.16. Da steig ich aber nur so halb durch. Außerdem hilft mir das eigentlich auch nichts, weil ich ja bestimmt mit dem gegeben Grenzwert argumentieren muss.
Ich bin dankbar für jeden Tipp. :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:51 Mo 15.12.2008 | | Autor: | pelzig |
Da hast du wohl die Aufgabe falsch abgetippt.... du meinst sicher dass $f$ auf $[a,b]$ monoton ist. Vielleicht meinst du auch dass für jedes [mm] $x_0\in[a,b]$ [/mm] der links- und rechtsseitige Grenzwert existiert? So wie es jetzt da steht, ist die Aussage jedenfalls trivial, denn die Menge der Unstetigkeitsstellen ist leer.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:19 Di 16.12.2008 | | Autor: | reverend |
So verstehe ich die Aufgabe nicht, Robert.
Unstetigkeiten in Form von Sprungstellen sind erlaubt, ein Grenzwert existiert. Oder genauer: ein linksseitiger Grenzwert existiert, ein rechtsseitiger auch, aber nirgendwo ist verlangt, dass sie gleich sein müssen.
Zu zeigen ist nun, dass die Zahl solcher Unstetigkeiten nicht gleichmächtig zu [mm] \IR [/mm] sein kann. Es ist leicht zu zeigen, dass es überabzählbar viele Unstetigkeiten gibt, wenn für kein [mm] x_0 [/mm] ein Grenzwert existiert, aber umgekehrt?
Wie wäre denn eine Funktion zu definieren, die (im gegebenen Intervall) für alle [mm] x\in\IQ [/mm] unstetig, für alle [mm] x\in\IR [/mm] \ [mm] \IQ [/mm] aber stetig ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:33 Di 16.12.2008 | | Autor: | pelzig |
> So verstehe ich die Aufgabe nicht, Robert.
> Unstetigkeiten in Form von Sprungstellen sind erlaubt, ein
> Grenzwert existiert. Oder genauer: ein linksseitiger
> Grenzwert existiert, ein rechtsseitiger auch, aber
> nirgendwo ist verlangt, dass sie gleich sein müssen.
Habe mich geirrt. Die Aufgabe war schon richtig.
> Zu zeigen ist nun, dass die Zahl solcher Unstetigkeiten
> nicht gleichmächtig zu [mm]\IR[/mm] sein kann. Es ist leicht zu
> zeigen, dass es überabzählbar viele Unstetigkeiten gibt,
> wenn für kein [mm]x_0[/mm] ein Grenzwert existiert, aber umgekehrt?
Ich weiß nicht, worauf du hinaus willst
> Wie wäre denn eine Funktion zu definieren, die (im
> gegebenen Intervall) für alle [mm]x\in\IQ[/mm] unstetig, für alle
> [mm]x\in\IR[/mm] \ [mm]\IQ[/mm] aber stetig ist?
[mm] $f(x)=\begin{cases}0&\text{für }x\in\IR\setminus\IQ\\1/q&\text{für }x=p/q\in\IQ\text{ mit }ggT(p,q)=1\end{cases}$
[/mm]
Die Menge der Unstetigkeitsstellen ist [mm] $\IQ$.
[/mm]
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:40 Di 16.12.2008 | | Autor: | reverend |
*vordenkopfschlag*
Danke für die Entbrettung, Robert. Die Funktion hatten wir doch neulich schon auf dem Tisch...
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Hi!
Danke für eure Mühe.
Die Funktion finde ich zumindest für mein Verständnis ganz hilfreich, aber ich kann doch nicht sagen, nur weil es bei dieser Fkt abzählbar viele Stellen gibt, gitl das für alle Funktionen? Als Beispiel wär sie gut zu gebrauchen. Oder überseh ich da was?
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:43 Di 16.12.2008 | | Autor: | reverend |
Nein, das kannst Du in der Tat nicht sagen. Ich konnte mir nur nicht vorstellen, dass es überhaupt eine Funktion gibt, für die man das nachweisen kann. Es gibt also eine.
Der Nachweis ist hier noch nicht geführt, dass es nicht mehr als abzählbar viele Unstetigkeiten geben kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:40 Mi 17.12.2008 | | Autor: | SEcki |
> Hi!
> Danke für eure Mühe.
> Die Funktion finde ich zumindest für mein Verständnis ganz
> hilfreich, aber ich kann doch nicht sagen, nur weil es bei
> dieser Fkt abzählbar viele Stellen gibt, gitl das für alle
> Funktionen?
Ich habe eine andere Antwort geschrieben ...
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:03 Mi 17.12.2008 | | Autor: | reverend |
Sorry, SEcki,
das wollte ich nicht ignorieren. Da habe ich mich nicht gut ausgedrückt.
Aber noch ist er hier nicht fertig, der Beweis. 
LG,
rev
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:11 Di 16.12.2008 | | Autor: | SEcki |
> zum Verständnis der Aufgabe: Also f ist eine Funktion im
> Intervall a bis b, und für alle [mm]x_0[/mm] aus diesem Intervall
> existiert der genannte Grenzwert. ich soll zeigen, dass der
> links- und rechtsseitige Grenzwert sich höchstens in
> abzählbar vielen Stellen unterscheiden?
Es kommt hier leider etwas auf die genaue Definition eures Limes-Begriffes an. Ich nehme mal an, wir arbeiten hier mit punktierten Umgebungen - also links und rechtsseitiger GW sind gleich, FW kann abweichen.
> Wie mach ich das denn?
> Ich habe schon eine Lösung für die Aufgabe angeschaut
> http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf
> Satz 12.16. Da steig ich aber nur so halb durch.
Ist eine ganz andere Aufgabe.
Nun zu der Aufgabe: Wie sind denn die Unstetigkeitsstellen charakterisiert? Für jede solche Stelle x gibt es ein [m]\tau[/m] so dass in jeder Umgebung ein y existiert mit [m]|f(x)-f(y)|>\tau[/m]. Jetzt fixiere ich ein [m]\tau[/m] und schaue mir alle Unstetigkeitsstellen an, die mit diesem charaktersiert sind. Es gibt nun allerdings bloß endlich viele hiervon - denn ansosnten würden sich sich in einen Punkt h häufen - und für diesen Punkt h würde der Limes nicht existieren (weil in jeder Umgebung von h Paare x, y existieren mit [m]|f(x)-f(y)|>\tau[/m]).
Nun muss man noch geschickt abzählen, dann ist man fertig.
SEcki
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Danke für die Hinweise :)
SEcki: Muss ich denn überhaupt noch abzählen? Ich sage ja, dass es -woimmer ich meinen [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] - Kasten hinsetze - es immer nur höchstens abzählbar viele Unstetigkeiten geben kann, da, wie du schon gesagt hast, sonst die Voraussetzung verletzt wäre. Also habe ich ja ein anzahl von Mengen sozusagen, die ich dann vereinige. Und die Vereinigung von abzählbaren Mengen ist ja wieder abzählbar, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:48 Mi 17.12.2008 | | Autor: | Vic_Burns |
ahh nein! was mir grad auffällt: ich habe ja nicht nur abzählbar viele Punkte auf meiner Funktion, sondern, weil ich in [mm] \IR [/mm] bin überabzählbar viele, deshalb stimmt meine Argumentation nicht. Also bitte über die Frage hinwegsehn ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:50 Mi 17.12.2008 | | Autor: | SEcki |
> Danke für die Hinweise :)
> SEcki: Muss ich denn überhaupt noch abzählen? Ich sage ja,
> dass es -woimmer ich meinen [mm]\varepsilon[/mm] - [mm]\delta[/mm] - Kasten
> hinsetze - es immer nur höchstens abzählbar viele
> Unstetigkeiten geben kann, da, wie du schon gesagt hast,
> sonst die Voraussetzung verletzt wäre.
Ich habe sogar endlich gezeigt in unserem Fall!
> Also habe ich ja ein
> anzahl von Mengen sozusagen, die ich dann vereinige. Und
> die Vereinigung von abzählbaren Mengen ist ja wieder
> abzählbar, oder?
Welche Mengen denn genau? Daran liegst noch ein bissl.
SEcki
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