absolut konvergente Summe? < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:48 Mo 09.03.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo,
hab ein paar Fragen zu folgendem Beweis. Und zwar sei f [mm] \in L_1(\mathbb{R}). [/mm] Dann ist [mm] \hat{f}(x) [/mm] := [mm] \sum_{k \in Z} [/mm] f(x+k) die der Fkt f zugeordnete 1-periodische Funktion.
Die Behauptung ist nun, dass obige Summe fast überall absolut konvergiert und dass gilt:
[mm] \| \hat{f} \|_{L_1(\Pi)} \leq \|f\|_{L_1(\mathbb{R})}\|, [/mm] wobei [mm] \Pi [/mm] =[-1/2,1/2).
Im Beweis wird nun folgede Funktion betrachtet:
[mm] \varphi_n(x):= \sum_{k=-n}^n [/mm] |f(x+k)| (n [mm] \in [/mm] N). Dann ist [mm] \{ \varphi_n \}_{n \in N} [/mm] eine monoton wachsende Folge nicht-negativer Funktionen. Hier ist schon meine erste Frage: Warum? Woher weiß man, dass die Folge monoton wächst ? Ich weiß doch von dem f gar nichts weiter?
Nun folgt
[mm] \int_{-1/2}^{1/2} \varphi_n(x) [/mm] dx = [mm] \int_{-1/2}^{1/2} \sum_{k=-n}^n [/mm] |f(x+k)|dx
= [mm] \sum_{k=-n}^n \int_{-1/2}^{1/2} [/mm] |f(x+k)| dx (das geht wegen Linearität des Intgreals, oder?)
= [mm] \sum_{k=-n}^n \int_{(k-1)/2}^{(k+1)/2} [/mm] |f(x)| dx (das geht wegen der Periodizität, oder wie kann ich mir das vorstellen?)
= [mm] \int_{(-n-1)/2}^{(n+1)/2} [/mm] |f(x)| dx (wie funktioniert das hier mit den Grenzen, dass die Summe dann einfach weg ist?)
[mm] \leq \| [/mm] f [mm] \|_{L_1(\mathbb{R})}
[/mm]
(Warum gilt diese Abschätzung und warum bedeutet das, dass dann f für jedes n [mm] \in [/mm] N integierbar ist??)
Jetzt wendet man Satz von Levi an (Warum kann man das? Dazu muss doch [mm] \{ \varphi_n \} [/mm] fast überall gegen Grenzfunkion [mm] \varphi [/mm] konvergieren, oder? Aber woran sieht man das?)
Auf jeden Fall gilt dann
[mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \int_{-1/2}^{1/2} \varphi_n(x) [/mm] dx = [mm] \int_{-1/2}^{1/2} \lim_{n \rightarrow \infty} \varphi_n(x) [/mm] dx.
Warum folgt hieraus nun
[mm] \int_{-1/2}^{1/2} \varphi(x) [/mm] dx = [mm] \|f\|_{L_1(\mathbb{R})}?
[/mm]
Es gilt ja mit der Dreiecksungleichung weiter [mm] |\sum_{k \in Z} [/mm] f(x+k)| [mm] \leq \sum_{k \in Z} [/mm] |f(x+k)|. Kann man daraus dann sagen, dass [mm] \sum [/mm] f(x+k) fast überall konvergiert?
Ok, und eine letzte Frage, warum folgt daraus:
[mm] \| \hat{f} \|_{L_1(\Pi)} \leq \| [/mm] f [mm] \|_{L_1(\mathbb{R})} [/mm] ?
Sorry für die vielen Fragen. Es wäre super, wen mir jemand was dazu schreiben kann, wenn auch nur zu ein paar, wäre ich schon etwas glücklicher 
Viele Grüße,
Riley
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:08 Mo 09.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ein bissel mehr muss man sich eigentlich selbst ueberlegen. haettest du doch mal 2 aufeinanderfolgende [mm] \phi [/mm] mit Puenktchen hingeschrieben.
[mm] \phi_n [/mm] hat doch einen pos. summanden mehr als [mm] \phi_{n-1} [/mm] also ist es groesser.
> Nun folgt
> [mm]\int_{-1/2}^{1/2} \varphi_n(x)[/mm] dx = [mm]\int_{-1/2}^{1/2} \sum_{k=-n}^n[/mm]
> |f(x+k)|dx
>
> = [mm]\sum_{k=-n}^n \int_{-1/2}^{1/2}[/mm] |f(x+k)| dx (das geht
> wegen Linearität des Intgreals, oder?)
Ja int(a=b)=inta+intb
> = [mm]\sum_{k=-n}^n \int_{(k-1)/2}^{(k+1)/2}[/mm] |f(x)| dx (das
> geht wegen der Periodizität, oder wie kann ich mir das
> vorstellen?)
ja stell die mal |sinx| vor und sieh dir die Flaeche von irgendwo eine Periode weit an!
> = [mm]\int_{(-n-1)/2}^{(n+1)/2}[/mm] |f(x)| dx (wie funktioniert das
> hier mit den Grenzen, dass die Summe dann einfach weg
> ist?)
Integral von a bis b + integral von b bis c = int von a bis c!
> [mm]\leq \|[/mm] f [mm]\|_{L_1(\mathbb{R})}[/mm]
> (Warum gilt diese Abschätzung und warum bedeutet das, dass
> dann f für jedes n [mm]\in[/mm] N integierbar ist??)
und jetzt setz mal ein negn ein und ein pos!
Und wie schaetzt man integrale nach oben ab? hab ich dir im letzten post anderer thread gesagt!
damit ist [mm] {\phi_n} [/mm] monoton wachsend und beschraenkt. was weisst du dann ?
So nun seh dir noch die verschiedenen Normen an, dann kannst du die anderen fragen sicher selbst beantworten.
gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Di 10.03.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo,
danke für die Hinweise!
> Und wie schaetzt man integrale nach oben ab? hab ich dir
> im letzten post anderer thread gesagt!
Meinst du mit dem min bzw max? Aber ich hab hier doch nur eine Funktion |f(x)| im Integral?
> damit ist [mm]{\phi_n}[/mm] monoton wachsend und beschraenkt. was
> weisst du dann ?
... dass es also einen Grenzwert gibt.
Achso, dann gilt
[mm] \int_{-1/2}^{1/2} \varphi(x) [/mm] dx = [mm] \|f\|_{L_1(R)} [/mm] hier, weil wir wissen, dass [mm] \varphi_n [/mm] einen Grenzwert hat, nämlich [mm] \varphi [/mm] ?
Viele Grüße,
Riley
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 Di 10.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hallo,
> danke für die Hinweise!
> > Und wie schaetzt man integrale nach oben ab? hab ich
> dir
> > im letzten post anderer thread gesagt!
> Meinst du mit dem min bzw max? Aber ich hab hier doch nur
> eine Funktion |f(x)| im Integral?
was ist denn $ [mm] \leq \| [/mm] $ f $ [mm] \|_{L_1(\mathbb{R})} [/mm] $ und wie gross ist die Intervallaenge?
> > damit ist [mm]{\phi_n}[/mm] monoton wachsend und beschraenkt.
> was
> > weisst du dann ?
> ... dass es also einen Grenzwert gibt.
> Achso, dann gilt
> [mm]\int_{-1/2}^{1/2} \varphi(x)[/mm] dx = [mm]\|f\|_{L_1(R)}[/mm] hier,
> weil wir wissen, dass [mm]\varphi_n[/mm] einen Grenzwert hat,
> nämlich [mm]\varphi[/mm] ?
Das ist der name des GW.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 Di 10.03.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo,
[mm] \|f \|_{L_1(\mathbb{R})} [/mm] = [mm] \int_{\mathbb{R}} [/mm] |f(x)| dx
> was ist denn [mm]\leq \|[/mm] f [mm]\|_{L_1(\mathbb{R})}[/mm] und wie gross
> ist die Intervallaenge?
Ah, die Intervalllänge ist 1. Also ist es kleiner, als wenn man über ganz R integriert, da die Funktionen nicht negativ sind, oder? Nur warum sind sie eigentlich nicht negativ?
Ich versteh aber noch nicht wie man auf
[mm] \int_{-1/2}^{1/2} \varphi(x) [/mm] dx = [mm] \| [/mm] f [mm] \|_{L_1(\mathbb{R})} [/mm] kommt?
Viele Grüße,
Riley
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:49 Di 10.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
irgendwo denkst du nicht mit. wie kann man fragen woher man weiss, dass |f| positiv ist?
Alles ist inzwischen beantwortet. Druck dir alles aus, sortier es , denk jeden Schritt nochmal durch , -gruendlich- und dann frage erst sehr genau, was du nicht verstanden hast.
Dabei gehoert dazu etwa [mm] \phi [/mm] ist ja definiert als.... daraus folgt dan ...
an folgender Stelle... komme ich nicht weiter weil....
Also DU musst jetzt sagen, was du alles ueberlegt hast, nicht ich.
Gruss leduart
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 Di 10.03.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo,
sorry - da hab ich wirklich nichts gedacht. Vielleicht kannst du mir ja sagen ob ich diese Stelle nun richtig verstanden habe:
[mm] \int_{(-n-1)/2}^{(n+1)/2} [/mm] |f(x)| dx = [mm] \| [/mm] f [mm] \|_{L_1(\xi)} [/mm]
mit [mm] \xi [/mm] = [(-n-1)/2,(n+1)/2], und es gilt [mm] \| [/mm] f [mm] \|_{L_1(\xi)} \leq \|f\|_{L_1(R)}, [/mm] da erstes Intervall kleiner ist?
Viele Grüße,
Riley
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:49 Di 10.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:12 Mi 11.03.2009 | | Autor: | Riley |
Ok, dankeschön - dann hab ich das nun auch verstanden.
Viele Grüße,
Riley
|
|
|
|
