abs. Konvergenz vs. Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:29 Fr 02.06.2006 | | Autor: | sclossa |
| Aufgabe | | Geben Sie eine Reihe an, die konvergiert - aber nicht absolut konvergent ist. |
EIne Reihe die konvergiert ist
[mm] \summe_{n=1}^{ \infty} (-1)^n [/mm] * [mm] \bruch{1}{n} [/mm] nach dem Leibniz-Kriterizm, da [mm] \bruch{1}{n} [/mm] monoton fallende Folge und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n} [/mm] = 0 gilt.
Somit hätten wir schonmal eine konvergente Reihe.
Per Definition ist Reihe absolut konvergent, wenn die Reihe der Absolutbeträge konvergiert. Hier gilt jedoch:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} |(-1)^n [/mm] * [mm] \bruch{1}{n} [/mm] |
= [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n} [/mm] und
diese Reihe divergiert bekanntermaßen...
Kommt das so hin?
Lg Sclossa
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Ist "absolut" richtig. 
Genau das ist das Beispiel, was man im Kopf haben sollte. Absolute Konvergenz ist stärker als Konvergenz an sich.
Lars
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