ableitung komplexer e-funktion < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:26 Mo 21.06.2010 | | Autor: | Annyy |
hallo liebes forum.
ich bin gerade dabei, mich auf die ana2-prüfung vorzubereiten und hab irgendwo in meinem mitschriftgekritzle gefunden, dass die ableitung
(e^(t*i))'=(e^(t*i))*(1/i)
ist, wobei i die imaginäre einheit ist (glaube ich zumindest)
ich kann mir das jedoch nicht herleiten, warum das so ist!
vl kann mir ja jemand behilflich sein, zum verständnis, oder zumindest bestätigen, dass das richtig ist!
liebste grüße, anna
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Hallo!
Denk dran, daß [mm] e^{it}=\cos(t)+i\sin(t)
[/mm]
Die rechte seite kann man einfach ableiten, denn das ist mehr oder weniger reell, wenn man von dem konstanten imaginären Faktor absieht.
Die Ableitung ist
[mm] -\sin(t)+i\cos(t)=i^2\sin(t)+i\cos(t)=i*(\cos(t)+i\sin(t))=i*e^{it}
[/mm]
Mit anderen Worten: Die Funktion wird genauso abgeleitet, als wäre das i eine reelle konstante. Vielleicht verwechselst du das mit [mm] e^{-it}, [/mm] denn dessen Ableitung ist [mm] -i*e^{-it}=\frac{1}{i}e^{-it}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:05 Di 22.06.2010 | | Autor: | Annyy |
stimmt, kann sein, dass da ein e^(-it) steht :)
danke für die rasche antwort! vielleicht kannst du mir auch mit meinem beispiel weiterhelfen
also, die aufgabenstellung:
a Element aus [mm] \IC [/mm] , r>0, n Element aus [mm] \IZ
[/mm]
[mm] \gamma(t) [/mm] = [mm] a+e^{it} [/mm] , t Element aus [0, 2 pi]
man berechne das komplexe Wegintegral
[mm] \integral_{\gamma}^{}{(z-a)^{n} dx}
[/mm]
ich verwende den satz
g element aus [mm] C^{1} [/mm] [a,b] und f stetig, so folgt
[mm] \integral_{a}^{b}{f dg} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{f(t)g'(t) dt}
[/mm]
und erhalte somit das integral
[mm] \integral_{0}^{2*pi}{(a+e^{it}*r-a)^{n}*(r*e^{it}*i) dt}
[/mm]
beim weiteren auflösen komm ich dann auf die form
[mm] \bruch{r^{n+i}}{n+1} (e^{i*2*pi*(n+1)}-e^{0}), [/mm] was ja 0 ergibt.
stimmt das so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:34 Di 22.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> also, die aufgabenstellung:
>
> a Element aus [mm]\IC[/mm] , r>0, n Element aus [mm]\IZ[/mm]
>
> [mm]\gamma(t)[/mm] = [mm]a+e^{it}[/mm] , t Element aus [0, 2 pi]
>
> man berechne das komplexe Wegintegral
>
> [mm]\integral_{\gamma}^{}{(z-a)^{n} dx}[/mm]
>
> ich verwende den satz
> g element aus [mm]C^{1}[/mm] [a,b] und f stetig, so folgt
> [mm]\integral_{a}^{b}{f dg}[/mm] = [mm]\integral_{a}^{b}{f(t)g'(t) dt}[/mm]
>
> und erhalte somit das integral
>
> [mm]\integral_{0}^{2*pi}{(a+e^{it}*r-a)^{n}*(r*e^{it}*i) dt}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> beim weiteren auflösen komm ich dann auf die form
>
> [mm]\bruch{r^{n+i}}{n+1} (e^{i*2*pi*(n+1)}-e^{0}),[/mm] was ja 0
> ergibt.
Wenn das $n + i$ ein $n + 1$ sein soll, dann stimmt das.
LG Felix
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