abhängigkeit von vektoren < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sind folgende Vektoren des [mm] \IR³:
[/mm]
u1=[mm](1\quad 2\quad 3 )^T[/mm]
u2=[mm]( 0\quad 1\quad -1 )^T[/mm]
u3=[mm](1\quad 4\quad 1 )^T[/mm] |
Diese Aufgabe war als Beispiel für lineare Abhängigkeit gegegeben, das Ergebnis sollte sein: u1 = -2u2+3
Ich habe das Ganze mal nachgerechnet. Das lineare Abhängigkeit vorliegt habe ich relativ schnell rausbekommen, aber auf das Ergebnis will ich beim Nachrechnen einfach nicht kommen...
Ich bin wie folgt vorgegangen:
[mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\alpha_1+
\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\alpha_2+\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}\alpha_3=0[/mm]
ergibt folgendes LGS:
[mm]\begin{vmatrix}
\alpha_1+\alpha_3=0\\
2\alpha_1+\alpha_2+4\alpha_3=0\\
3\alpha_1-\alpha_2+\alpha_3=0
\end{vmatrix}
[/mm]
dabei ergibt sich bei mir eine lineare Abhängigkeit : [mm] \alpha_1=-\alpha_3
[/mm]
aber eben nicht die Lösung aus dem Buch
Was mache ich falsch ?????
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:07 Di 12.01.2010 | | Autor: | nooschi |
naja, also lineare Abhängigkeit hast du noch nicht gezeigt. du hast erst den obersten Eintrag betrachtet und für den muss [mm] \alpha_{1}=-\alpha_{3} [/mm] gelten. Wenn du das jetzt aber so einsetzten würdest, würdest du nicht auf das richtige Ergebnis kommen (also damit meine ich jetzt [mm] u_{1}\not=-u_{3})
[/mm]
das Gleichungssystem ist schon mal gut, aber du musst jetzt versuchen [mm] \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} [/mm] auszurechnen, als wenn sie linear unabhängig wären:
[mm] \alpha_{1}+\alpha_{3}=0
[/mm]
[mm] 2\alpha_1+\alpha_2+4\alpha_3=0
[/mm]
[mm] 3\alpha_1-\alpha_2+\alpha_3=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \alpha_{1}=-\alpha_{3}
[/mm]
[mm] \Rightarrow -2\alpha_3+\alpha_2+4\alpha_3=0 [/mm]
[mm] -3\alpha_3-\alpha_2+\alpha_3=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow 2\alpha_3+\alpha_2=0
[/mm]
[mm] -2\alpha_3-\alpha_2=0
[/mm]
und hier siehst du jetzt die lineare Abhängigkeit: du kannst als nichttriviale Lösung zum Beispiel [mm] \alpha_{2}=-2, \alpha_3=1, \alpha_1=-1 [/mm] einsetzten.
du hast also:
[mm] -1*v_1-2*v_2+1*v_3=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] linear abhängig.
und aus dem sieht man auch gleich das Resultat aus dem Buch (du hast das wohl falsch abgeschrieben, oder?):
[mm] v_1=-2*v_2+v_3
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:17 Di 12.01.2010 | | Autor: | jennilein |
vielen Dank für die Erklärung, habe mir schon gedacht dass ich irgendwo vergessen habe weiterzurechnen. Aber immer wenn ich die Werte gegenseitig eingesetzt habe dann kam ich nur auf mein Ergebnis aber nicht weiter ...
jap ich hab mich vertippt aber als ich es bemerkt habe hast du bereits angefangen zu antworten ;) es muss natürlich u3 heißen
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