abgeschlossene menge < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei X ein metrischer Raum, Y eine Teilmenge von X und Z die Menge der isolierten Punkte von Y.
Zeige: Z ist eine abgeschlossene Menge. |
Hallo,
ich habe einen kleinen Widerspruch im Kopf. Nehmen wir mal folgendes Setup: [mm] X=$\mathbb{R}$, Y=$\{1/n: n \geq 1 \}$. [/mm] Wenn ich aus Y die 1 ausschliesse, habe ich die Menge Z. Nun ist doch aber 0 offensichtlich ein Häufungspunkt von Z, d.h. Z ist doch nicht abgeschlossen in [mm] $\mathbb{R}$.
[/mm]
Ist die eigentliche Behauptung denn wirklich richtig, oder habe ich einen Fehler in meinem Beispiel.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:34 So 06.11.2011 | | Autor: | donquijote |
Dein Gegenbeispiel überzeugt mich. Ich würde sagen, du hast recht und die Aussage ist falsch. Aber ich will nicht ausschließen, dass auch ich irgendwas übersehen habe...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:22 Mo 07.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei X ein metrischer Raum, Y eine Teilmenge von X und Z die
> Menge der isolierten Punkte von Y.
> Zeige: Z ist eine abgeschlossene Menge.
> Hallo,
>
> ich habe einen kleinen Widerspruch im Kopf. Nehmen wir mal
> folgendes Setup: X=[mm]\mathbb{R}[/mm], Y=[mm]\{1/n: n \geq 1 \}[/mm]. Wenn
> ich aus Y die 1 ausschliesse, habe ich die Menge Z. Nun ist
> doch aber 0 offensichtlich ein Häufungspunkt von Z, d.h. Z
> ist doch nicht abgeschlossen in [mm]\mathbb{R}[/mm].
> Ist die eigentliche Behauptung denn wirklich richtig, oder
> habe ich einen Fehler in meinem Beispiel.
Die Aussage ist falsch. Dein Gegenbeispiel ist völlig O.K.
Es geht noch etwas einfacher: X=[mm]\mathbb{R}[/mm], Y=[mm]\{1/n: n \geq 1 \}[/mm] und Z=Y (denn Y besteht nur aus isolierten Punkten)
FRED
|
|
|
|
