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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:10 So 20.04.2008 | | Autor: | Tommylee |
| Aufgabe | Zeigen Sie , dass A : = [mm] \IR [/mm] \ {-1} mit der Verknüpfung * definiert durch
a*b := ab + a + b ( a,b [mm] \in [/mm] A )
eine kommutative ( abelsche ) Gruppe ist |
Hallo ,
Also ich prüfe zu erst mal die Assiozivität :
(a*b)*c = a*(b*c)
mit a*b := ab + a + b ( a,b [mm] \in [/mm] A )
also : (a*b)*c := (a*b)c + (a*b)+c oder ?
Ziel : ........ = a*(b*c)
Da ich die Umformung nicht hinkriege denke ich ich lieg total falsch
habt dank für rat
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Hallo Thomas,
> Zeigen Sie , dass A : = [mm]\IR[/mm] \ {-1} mit der Verknüpfung *
> definiert durch
>
> a*b := ab + a + b ( a,b [mm]\in[/mm] A )
>
> eine kommutative ( abelsche ) Gruppe ist
>
> Hallo ,
>
> Also ich prüfe zu erst mal die Assiozivität :
>
> (a*b)*c = a*(b*c)
>
> mit a*b := ab + a + b ( a,b [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
A ) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> also : (a*b)*c := (a*b)c + (a*b)+c oder ? [otok]
>
> Ziel : ........ = a*(b*c)
>
> Da ich die Umformung nicht hinkriege denke ich ich lieg
> total falsch
>
>
> habt dank für rat
Du musst stur einsetzen, das ist "nur" eine etwas lästige Rechnerei...
Fangen wir mit der linken Seite an:
$(\blue{a\star b})\star c=(\underbrace{\blue{ab+a+b}}_{=\green{\tilde{a}}})\star c$ nach der Definition von $\star$
Nun ist der gesamte Klammerausdruck dein "neues \tilde{a}"
$=\green{\tilde{a}}\star c=\tilde{a}c+\tilde{a}+c}$
Nun das \tilde{a} einsetzen
$=\green{(ab+a+b)}c+\green{(ab+a+b)}+c$
Nun rumrechnen und umformen:
$=abc+ac+bc+ab+a+b+c$
$=(abc+ab+ac)+a+bc+b+c$
$=a\red{(bc+b+c)}+a+\red{(bc+b+c)}$
$=a\star(\red{bc+b+c})=a\star(b\star c)$
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 So 20.04.2008 | | Autor: | Tommylee |
Hallo
habe bereits 0 als neutrales Element herausgefunden
Hab ein problem mit dem inversen :
[mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] A [mm] \exists [/mm] a` [mm] \in [/mm] A : a`* a = e
also
a*a` = a a` +a + a`
a*a` = e = 0 also
a a` + a + a` = 0
.......
thankks for help
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:08 So 20.04.2008 | | Autor: | zahllos |
Hallo,
du weißt, dass aa'+a+a'=0 sein soll. Diese Gleichung kannst du nach a' auflösen: a'(a+1)=-a und damit [mm] a'=\frac{-a}{a+1}
[/mm]
Die Gruppe ist abelsch, weil Addition und Multiplikation von reellen Zahlen kommutativ sind.
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