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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:49 Mi 09.04.2014 | | Autor: | Lila_1 |
| Aufgabe | Es sei G eine Gruppe. Zeige: Gilt eine der folgenden Voraussetzungen i), ii) oder iii), so ist G abelsch.
i) Für alle [mm] g\in [/mm] G gilt [mm] g^{2}= e_G
[/mm]
ii) Für je zwei g, h \ in G gilt [mm] (gh)^{2}= g^{2}h^{2}
[/mm]
iii) Für je zwei g, h [mm] \in [/mm] G gilt [mm] (gh)^{-1}= g^{-1}h^{-1} [/mm] |
Hallo,
Kann man die iii) so beweisen:
Mit Assoziativität: [mm] (g^{-1}h^{-1})(hg)=( g^{-1}(h^{-1}(hg))) [/mm] = [mm] g^{-1}((h^{-1}h)g) [/mm] = [mm] g^{-1}g [/mm] = e
Und die i):
[mm] e_G [/mm] = [mm] gg^{-1}= [/mm] gg = [mm] g^2
[/mm]
Dankeschön
Grüß lila
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:45 Mi 09.04.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Lila_1!
> Es sei G eine Gruppe. Zeige: Gilt eine der folgenden
> Voraussetzungen i), ii) oder iii), so ist G abelsch.
> i) Für alle [mm]g\in[/mm] G gilt [mm]g^{2}= e_G[/mm]
> ii) Für je zwei g, h
> \ in G gilt [mm](gh)^{2}= g^{2}h^{2}[/mm]
> iii) Für je zwei g, h
> [mm]\in[/mm] G gilt [mm](gh)^{-1}= g^{-1}h^{-1}[/mm]
> Kann man die iii) so beweisen:
> Mit Assoziativität: [mm](g^{-1}h^{-1})(hg)=( g^{-1}(h^{-1}(hg)))[/mm]
> = [mm]g^{-1}((h^{-1}h)g)[/mm] = [mm]g^{-1}g[/mm] = e
Du hast damit bewiesen, dass das Inverse von $hg$ das Element [mm] $g^{-1}h^{-1}$ [/mm] ist.
Mit der Aufgabenstellung hat das leider nichts zu tun.
> Und die i):
> [mm]e_G[/mm] = [mm]gg^{-1}=[/mm] gg = [mm]g^2[/mm]
Hier nimmst du [mm] $g^{-1}=g$ [/mm] an und schlussfolgerst [mm] $g^2=e_G$?
[/mm]
Wieder kann ich keinen Zusammenhang zur Aufgabenstellung ausmachen.
Du scheinst die Aufgabenstellung missverstanden zu haben.
Sie besteht eigentlich aus drei Aufgaben, nämlich jeweils nachzuweisen:
1. Wenn i) gilt, dann ist G abelsch.
2. Wenn ii) gilt, dann ist G abelsch.
3. Wenn iii) gilt, dann ist G abelsch.
Nirgendwo ist i), ii) oder iii) zu zeigen, sondern diese Eigenschaften sind bei den einzelnen Teilaufgaben jeweils als Voraussetzung gegeben.
Zu zeigen ist jeweils, dass G abelsch ist; d.h. für alle [mm] $a,b\in [/mm] G$ ist $ab=ba$ zu zeigen.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:28 Do 10.04.2014 | | Autor: | Lila_1 |
Könntest du mir vielleicht einen Tipp geben, wie ich die erste Aussage beweisen könnte?
Gruß lila
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:43 Do 10.04.2014 | | Autor: | hippias |
> Könntest du mir vielleicht einen Tipp geben, wie ich die
> erste Aussage beweisen könnte?
>
> Gruß lila
Wie tobit09 bereits angemerkt hat: es ist nicht die erste Aussage zu beweisen, sondern unter Voraussetzung von i) ist zu zeigen, dass $G$ abelsch ist.
Mein Tip: Seinen [mm] $a,b\in [/mm] G$ beliebig. Wende einerseits auf den Term [mm] $(ab)^{2}$ [/mm] die Voraussetung an und loese andererseits die Klammer auf. Es koennte sich aber als einfacher erweisen erst die Kommutativitaet aus ii) zu schlussfolgern.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:44 Do 10.04.2014 | | Autor: | tobit09 |
In Ergänzung zu hippias' Vorschlag:
Vermutlich wirst du die Voraussetzung i) nicht nur auf $ab$, sondern auch auf $a$ und $b$ anwenden müssen.
Mein Vorschlag:
Seien [mm] $a,b\in [/mm] G$.
Zeigen wollen wir $ab=ba$.
Sei $c:=a(ab)^2b$.
Zeige nun
(a) $c=ab$
(b) $c=ba$.
Verwende für (a) die Voraussetzung (i) angewandt auf $g:=ab$.
Verwende für (b) die Voraussetzung (i) angewandt auf $g:=a$ und $g:=b$.
Aus (a) und (b) folgt dann wie gewünscht $ab=c=ba$.
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Ich sitze selbe an dieser Aufgabe, und wollte fragen ob mein Beweis zu i) stimmt? Sei beliebiges [mm] x,y\in [/mm] G: xy=yx
(xy)(xy)= e
x^2yxy=x
yxy=x
[mm] yxy^2= [/mm] xy
yx= xy
Könnt ihr mir vielleicht zu ii) und iii) ein Tipp geben? Ich danke euch für eure Hilfe
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> Ich sitze selbe an dieser Aufgabe, und wollte fragen ob
> mein Beweis zu i) stimmt?
Hallo,
sei G eine Gruppe mit [mm] x^2=e [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] G.
> Sei Fürbeliebiges [mm]x,y\in[/mm] G
ist zu zeigen:
> xy=yx
Beweis:
Es ist nach Voraussetzung für alle [mm] x,y\in [/mm] G
> (xy)(xy)= e.
==>
> x^2yxy=x
==>
> yxy=x
==>
> [mm]yxy^2=[/mm] xy
==>
> yx= xy
Das ist i.O.
> Könnt ihr mir vielleicht zu ii) und iii) ein Tipp geben?
zu ii)
[mm] ghgh=g^2h^2.
[/mm]
Multipliziere mit passenden Inversen...
zu iii):
Nach Voraussetzung ist [mm] g^{-1} h^{-1} [/mm] das Inverse von gh.
Was ergibt also [mm] (gh)*(g^{-1} h^{-1})?
[/mm]
LG Angela
> Ich danke euch für eure Hilfe
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Ich habe so versucht zu ii) und iii):
ii) [mm] ghgh=g^2 h^2. [/mm] links Multi.mit g^-1
hgh= ghh rechts Multi.mit h^-1
hg=gh
iii) (gh)^-1=g^-1h^-1 Multi.mit gh
e= g^-1 h^-1 gh links Multi.mit g
g= h^-1 gh links Multi.mit h
hg= gh
Ist das richtig was ich gemacht habe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:24 Mo 14.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe so versucht zu ii) und iii):
> ii) [mm]ghgh=g^2 h^2.[/mm] links Multi.mit g^-1
> hgh= ghh rechts Multi.mit h^-1
> hg=gh
>
>
> iii) (gh)^-1=g^-1h^-1 Multi.mit gh
> e= g^-1 h^-1 gh links Multi.mit g
> g= h^-1 gh links Multi.mit h
> hg= gh
> Ist das richtig was ich gemacht habe?
>
>
Ja
FRED
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