a,b algebraisch<=>a+b, ab alg. < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:04 Di 01.03.2011 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | | Sei L/K eine Körpererweiterung. Zeigen Sie: $a,b [mm] \in [/mm] L$ algebraisch über K [mm] $\gdw [/mm] a+b$ und [mm] $ab\:$ [/mm] algebraisch über K |
Hallo,
also meine Ansätze:
[mm] "$\Rightarrow$"
[/mm]
$a,b [mm] \in [/mm] L$ algebraisch über K [mm] $\Rightarrow [/mm] K(a,b)/K$ algebraisch [mm] $\Rightarrow [/mm] a+b, ab$ algebraisch über K
[mm] "$\Leftarrow$"
[/mm]
Hier habe ich so meine Probleme, ist ja auch worauf es in der Aufgabe ankommt.
Ich kann lediglich zeigen, dass b algebraisch über K(a) bzw. a algebraisch über K(b) ist, denn:
Es ex. $f = [mm] \sum_i c_iX^i \in [/mm] K[X]: f(ab)=0 [mm] \Rightarrow \sum_i c_i a^i b^i [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] g = [mm] \sum_i c_i a^i X^i \in [/mm] K(a)[X]$ annuliert b [mm] $\Rightarrow [/mm] b$ algebraisch über K(a).
Analog a algebraisch über K(b).
Wie komme ich weiter? Ich weiß, dass es ein Polynom in K[X] gibt, dass a+b annuliert, das hilft mir aber nicht so wirklich weiter.
LG Lippel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:47 Di 01.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei L/K eine Körpererweiterung. Zeigen Sie: [mm]a,b \in L[/mm]
> algebraisch über K [mm]\gdw a+b[/mm] und [mm]ab\:[/mm] algebraisch über K
> Hallo,
> also meine Ansätze:
>
> "[mm]\Rightarrow[/mm]"
> [mm]a,b \in L[/mm] algebraisch über K [mm]\Rightarrow K(a,b)/K[/mm]
> algebraisch [mm]\Rightarrow a+b, ab[/mm] algebraisch über K
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> "[mm]\Leftarrow[/mm]"
> Hier habe ich so meine Probleme, ist ja auch worauf es in
> der Aufgabe ankommt.
> Ich kann lediglich zeigen, dass b algebraisch über K(a)
> bzw. a algebraisch über K(b) ist, denn:
> Es ex. [mm]f = \sum_i c_iX^i \in K[X]: f(ab)=0 \Rightarrow \sum_i c_i a^i b^i = 0 \Rightarrow g = \sum_i c_i a^i X^i \in K(a)[X][/mm]
> annuliert b [mm]\Rightarrow b[/mm] algebraisch über K(a).
> Analog a algebraisch über K(b).
> Wie komme ich weiter? Ich weiß, dass es ein Polynom in
> K[X] gibt, dass a+b annuliert, das hilft mir aber nicht so
> wirklich weiter.
Setze $c := a + b$ und $d := a b$. Dann ist $(x - a) (x - b) [mm] \in [/mm] L[x]$, falls $L = K(c, d)$, womit $a$ und $b$ algebraisch ueber $L$ sind.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:48 Mi 02.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Vielen Dank für deine Antwort!
LG Lippel
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