a + 1/a => 2 < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:36 Sa 31.10.2009 | | Autor: | St4ud3 |
| Aufgabe | Zeigen sie für alle a,b [mm] \in \IR [/mm] mit a [mm] \not= [/mm] 0 und b [mm] \not= [/mm] 0 gilt
[mm] \bruch{a}{b} [/mm] + [mm] \bruch{b}{a} \ge [/mm] 2 |
Hi,
ich dachte mir das ganze lässt sich sicher einfacher beweisen, wenn wir das ganze durch c und 1/c austauschen. Nach dem Erweitern auf einen Bruch erhält man dabei dann:
[mm] \bruch{c^{2}+1}{c} \ge [/mm] 2
[mm] \gdw c^{2}+1 \ge [/mm] 2c
Was ist nun aber die Begründung, dass [mm] c^{2}+1 [/mm] wirklich größer als 2c ist? Ich hab keine Ahnung wie ich das formal beweisen soll.
Grüße
St4ud3
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:41 Sa 31.10.2009 | | Autor: | Aniria |
also du hast [mm] \bruch{a}{b} [/mm] + [mm] \bruch{b}{a} \ge [/mm] 2
also, ich finde es einfache ohne das ersetzen zu zeigen:
[mm] \bruch{a}{b}+ \bruch{b}{a} [/mm] = [mm] \bruch{ab+ba}{ba} [/mm] = [mm] \bruch{2ab}{ab}=2
[/mm]
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> also du hast [mm]\bruch{a}{b}[/mm] + [mm]\bruch{b}{a} \ge[/mm] 2
>
> also, ich finde es einfacher ohne das ersetzen zu zeigen:
>
> [mm]\bruch{a}{b}+ \bruch{b}{a}\ =\ \bruch{ab+ba}{ba}\ =\ \bruch{2ab}{ab}=2[/mm]
.... nur ist das leider falsch ....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:47 Sa 31.10.2009 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
> Zeigen sie für alle a,b [mm]\in \IR[/mm] mit a [mm]\not=[/mm] 0 und b [mm]\not=[/mm]
> 0 gilt
>
> [mm]\bruch{a}{b}[/mm] + [mm]\bruch{b}{a} \ge[/mm] 2
Also so wie das da steht ist diese Behauptung falsch:
[mm] \bruch{-2}{1}+\bruch{1}{-2} [/mm] = -2,5 ist sicher nicht größer oder gleich 2...
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:10 Sa 31.10.2009 | | Autor: | St4ud3 |
Oh, ich hab die Betragsstricher vergessen. Hab die Aufgabe aus dem Kopf aufgeschrieben. Tut mir leid :)
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Hallo St4ud3 ,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Zeigen sie für alle a,b [mm]\in \IR[/mm] mit a [mm]\not=[/mm] 0 und b [mm]\not=[/mm]
> 0 gilt
>
> [mm]\bruch{a}{b}[/mm] + [mm]\bruch{b}{a} \ge[/mm] 2
> Hi,
>
> ich dachte mir das ganze lässt sich sicher einfacher
> beweisen, wenn wir das ganze durch c und 1/c austauschen.
> Nach dem Erweitern auf einen Bruch erhält man dabei dann:
>
> [mm]\bruch{c^{2}+1}{c} \ge[/mm] 2
>
> [mm]\gdw c^{2}+1 \ge[/mm] 2c
>
>
> Was ist nun aber die Begründung, dass [mm]c^{2}+1[/mm] wirklich
> größer als 2c ist? Ich hab keine Ahnung wie ich das
> formal beweisen soll.
$\ [mm] \gdw c^{2}+1 \ge [/mm] 2c $
$\ [mm] \gdw c^{2}-2c+1 \ge [/mm] 0 $,
Es ist $\ [mm] c^{2}-2c+1 [/mm] = [mm] (c-1)^2 [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{2}\vektor{2 \\ i}c^{2-i}(-1)^i [/mm] $
Edit: habe gerade den Einwand von ms2008de gesehen. Ich denke, es müsste $\ x,y > 0 $ lauten. Dann ist mit $\ c [mm] \in \IR [/mm] $ und $\ c > 0 $ das ganze gezeigt.
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> Grüße
> St4ud3
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Viele Grüße
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:10 Sa 31.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo St4ud3!
Warum so umständlich mit diesem $c_$ ? Bringe beide Brüche auf einen Hauptnenner und multipliziere mit $a*b \ > \ 0$ (das müsste wie bereits mehrfach erwähnt Bedingung sein) .
Anschließend kann man dann zu einer binomischen Formel umformen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:13 Sa 31.10.2009 | | Autor: | St4ud3 |
Danke euch allen nochmal. Ich hoffe, dass ich in den nächsten Wochen auch mal selber an sowas denke. Die Lösung war ja dann doch sehr einfach :D
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