a- vs. anti-symmetrisch < Relationen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:00 Mi 09.07.2008 | | Autor: | rainman |
| Aufgabe | Betrachten wir Beispiele von Relationen in der Menger aller Menschen:
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c) die Relation "ist Mutter von" ist asymmetrisch und antisymmetrisch (aber nicht reflexiv...)
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Hallo,
ich kämpfe momentan ein wenig mit dem Unterschied zwischen asymmetrischen and antisymmetrischen Relationen. Ich dachte eben, ich hätte es verstanden, da bin ich auf obiges Beispiel im Lehrbuch gestossen.
das "ist mutter von" asymmetrisch ist, leuchtet mir ein. Wenn es aber auch antisymmetrisch ist, muss eine Mutter dann nicht auch die Mutter von sich selbst sein können?
Wo liegt mein Denkfehler? Für Hinweise bin ich sehr dankbar.
Rainer
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:18 Mi 09.07.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Betrachten wir Beispiele von Relationen in der Menger aller
> Menschen:
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> ...
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> c) die Relation "ist Mutter von" ist asymmetrisch und
> antisymmetrisch (aber nicht reflexiv...)
>
> ...
> Hallo,
>
> ich kämpfe momentan ein wenig mit dem Unterschied zwischen
> asymmetrischen and antisymmetrischen Relationen. Ich dachte
> eben, ich hätte es verstanden, da bin ich auf obiges
> Beispiel im Lehrbuch gestossen.
>
> das "ist mutter von" asymmetrisch ist, leuchtet mir ein.
> Wenn es aber auch antisymmetrisch ist, muss eine Mutter
> dann nicht auch die Mutter von sich selbst sein können?
das verstehe ich nicht. Die Relation ist ja eben asymmetrisch, weil, wenn $A$ Mutter von $B$ ist (also das Paar $(A,B)$ zur Relation gehört), dann daraus folgt, dass $B$ nicht Mutter von $A$ sein kann (also $(B,A)$ gehört dann nicht zur Relation).
Die Relation ist auch antisymmetrisch, denn wenn $A$ Mutter von $B$ ist (also das Paar $(A,B)$ zur Relation gehört), so kann $B$ ja wie oben schonmal gesehen nicht mehr Mutter von $A$ sein.
Jetzt schau' mal ![[]](/images/popup.gif) hier (oder hier) in die Definition der Antisymmetrie, und Du erkennst, dass das keineswegs den Widerspruch impliziert, dass $A$ Mutter von sich selbst sei. Denn in der Antisymmetrie steht:
Wenn $(A,B)$ und $(B,A)$ zur Relation gehören, dann...
Man hat also nur etwas für solche Paare $(A,B)$ aus der Relation zu prüfen, für die auch das Paar $(B,A)$ zur Relation gehört. Bei der Relation "ist Mutter von" gibt es aber (vgl. die Asymmetrie) eben kein Paar $(A,B)$, für das auch das Paar $(B,A)$ zur Relation dazugehört. Mit anderen Worten:
Der "Antisymmetrietest" gelingt, weil es eben kein Paar $(A,B)$ gibt, für das es etwas zu testen gäbe...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Mi 09.07.2008 | | Autor: | rainman |
Hallo Marcel,
vielen Dank, ich glaube, ich bin meinem Verständnisproblem jetzt auf den Grund gekommen. Ich habe offensichtlich krampfhaft versucht abzugrenzen, wo nichts abzugrenzen ist. In Wirklichkeit ist die Asymmetrie wohl nur ein Spezialfall der Antisymmetrie. D.h., alle asymmetrischen Relationen sind auch Antisymmetrisch. Demnach ist antisymmetrisch, was symmetrisch oder reflexiv ist?
Wenn das stimmt, dann wäre auch die folgende Definition von Antisymmetrie korrekt:
[mm] \forall x,y\in [/mm] M:((x,y) [mm] \in [/mm] R [mm] \Rightarrow [/mm] (y,x) [mm] \not\in [/mm] R) [mm] \vee [/mm] x=y
Liege ich da richtig?
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:27 Mi 09.07.2008 | | Autor: | rainman |
Ein dummer Tippfehler im Text:
"Demnach ist antisymmetrisch, was symmetrisch oder reflexiv ist?"
soll natürlich heissen:
"Demnach ist antisymmetrisch, was asymmetrisch oder reflexiv ist?"
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:32 Mi 09.07.2008 | | Autor: | leduart |
Ja
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:39 Do 10.07.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Rainer,
ja, jede asymmetrische Relation ist auch antisymmetrisch.
> Wenn das stimmt, dann wäre auch die folgende Definition von
> Antisymmetrie korrekt:
>
> [mm]\forall x,y\in[/mm] M:((x,y) [mm]\in[/mm] R [mm]\Rightarrow[/mm] (y,x) [mm]\not\in[/mm] R) [mm]\vee[/mm] x=y
Sowas kannst Du Dir auch selbst überlegen, und zwar, indem Du prüfst, ob diese Definition äquivalent zu der anderen (z.B. der bei Wikipedia) ist:
Sei zunächst $R$ antisymmetrisch nach der Definition von Wiki. Seien nun $x,y [mm] \in [/mm] M$ mit $(x,y) [mm] \in [/mm] R$:
1. Fall:
Ist $(y,x) [mm] \in [/mm] R$, so folgt nach Definition der Antisymmetrie nach Wiki dann $x=y$ und es gilt "Deine Definition".
2. Fall:
Ist $(y,x) [mm] \notin [/mm] R$, so gilt insbesondere "Deine Definition".
Also: Die Antisymmetrie nach Wiki liefert auch "Deine Definition der Antisymmetrie".
Gelte nun umgekehrt für $R$ "Deine Definition der Antisymmetrie". Wir haben dann zu zeigen, dass dann auch die von Wiki gilt:
Sind $x,y [mm] \in [/mm] M$ mit sowohl $(x,y) [mm] \in [/mm] R$ als auch $(y,x) [mm] \in [/mm] R$, so folgt nach "Deiner Definition" dann $x=y$.
Mit anderen Worten:
Leduarts "Ja" ist gerechtfertigt (zumindest bzgl. den Sachen, die ich hier gerade nochmal "kontrolliert" habe).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:55 Do 10.07.2008 | | Autor: | rainman |
Vielen Dank, das hilft mir sehr und zwar sicher auch über den hier dargestellten Fall hinaus.
Rainer
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